Quali tipi di difficoltà mediamente può trovare uno studente di fine superiori (in Italia ai nostri giorni) di fronte alla risoluzione di una disequazione come x² > 1/4 e che cosa ne potrebbe essere all'origine?

Di fronte a x² > 1/4 ci si aspetta che molti studenti rispondano x > ±1/2, per analogia con la risoluzione di x² = 1/4. Ci si aspetta anche che, tra coloro che capiscono quale sia la soluzione, molti la esprimano in modo errato, ad esempio con "x < -1/2 e x > 1/2" invece che con "x < -1/2 o x > 1/2".
Anche tra coloro che rispondono correttamente, ci aspettiamo che non pochi usino formule e tecniche di manipolazione generali per risolvere disequazioni del tipo a·x^2+b·x+c > 0 invece che ragionare direttamente su questo, semplice, caso particolare.
All'origine di queste difficoltà vi è la tendenza, da parte degli alunni, ad applicare procedimenti risolutivi appresi solo meccanicamente: perso l'allenamento a risolvere esercizi di un certo tipo, non riescono a ricordarne i corripondenti metodi risolutivi o non sono più in grado ad associare procedimenti a problemi corrispondenti. Questa tendenza è favorita da un insegnamento che articola la matematica in tanti temi e attività separate, e che in particolare non mette a fuoco le poche idee generali che servono per risolvere tutti i tipi di disequazioni (assieme alle caratteristiche delle particolari funzioni via via coinvolte) e che non intreccia metodi simbolici e metodi grafici (idee generali e intreccio che, a differenza delle singole procedure risolutive, gli alunni avrebbero occasione di rivedere, consolidare, applicare, … nel corso di tutto il quinquennio).

Quanto si ottiene con WolframAlpha battendo x^2 > 1/4:

    La presenza di difficoltà di questo tipo sono state evidenziate da un'indagine sulle competenze degli alunni dell'ultimo anno delle superiori:  l'indagine, la domanda sulle disequazioni, i commenti ad essa (clicca su >>>).