L'insegnante di Pierino dice che la funzione x → a^x è definita solo per a positivo. Pierino non è convinto di questa affermazione. Perché? Ha ragione?

(−1)⁻¹ = 1/(−1)¹ = 1/(−1) = −1;  (−8)^1/3 = −2, in quanto (−2)³ = −8;  0⁵ = 0. Evidentemente Pierino ha ragione.  Il suo insegnante ha studiato analisi matematica all'università senza rendersi conto che affermare che la funzione x → a^x è definita (e derivabile) su R solo per a > 0 non significa che a^x non è definita per alcun x se a ≤ 0.  Si vedano le osservazioni fatte in potenze (2).

Occorrerebbe rendersi conto che quando si parla di funzioni esponenziali (exp, x → 2^x, …) in analisi in genere ci si riferisce a funzioni definite su tutto R (e che sono particolari isomorfismi tra R e R+: exp(x+y) = exp(x)*exp(y)), ma ciò non esclude, ovviamente, che non si possa considerare, ad esempio, la funzione x → (−2)^x, che avrà un dominio più piccolo. Nel software in genere la funzione potenza è espressa usando "^" ma viene calcolata solo per input positivi. Per calcolare (−3)^0.2, ovvero ⁵√(−3), occorre battere abs(-3)^(1/5)*sign(-3) (= −1.24573093961…).

Alcune calcolatrici, e ad esempio questo script, svolgono automaticamente questa trasformazione (dando facili argomentazioni a Pierino):

WolframAlpha effettua il calcolo correttamente solo se si esprime l'esponente in forma frazionaria (altrimenti interpreta il calcolo sui numeri complessi):

(1.24573093961… è la lunghezza del vettore che rappresenta 1.0078...+ 0.7322...i)