Un insegnante di matematica all'inzio dell'anno, in una classe di terza liceo in cui insegna per la prima volta, fa aprire agli studenti il sito  http://www.wolframalpha.com  e propone agli alunni di impostare i seguenti calcoli:
1) 0.1... exact value 1/9 decimal approximation 0.1111111111111... 2) 3+1.43 result 4.43 3) 3+1.4299... input interpretation 3+1.429 decimal form 4.43 4) 3/10+(3/10)^2 decimal form 0.39 5) 3/10+(3/10)^2+(3/10)^3 decimal form 0.417 6) 3/10+(3/10)^2+(3/10)^3+... infinite sum sum_(n=1)^infinity (3/10)^n = 3/7 decimal approximation 0.428571428571428571...	7) (sqrt(3)-sqrt(1/3))^2 result 4/3 decimal approximation 1.33333333333333... 8) (sqrt(3/2)-sqrt(1/3))^2 result (sqrt(3/2)-1/sqrt(3))^2 decimal approximation 0.41911977096023828453164460912363525... 9) 10^(-2^1)+10^(-2^2)+10^(-2^3) decimal form 0.01010001 10) 10^(-2^1)+10^(-2^2)+10^(-2^3)+10^(-2^4) decimal form 0.0101000100000001 11) sum 10^(-2^n) n=1 to oo infinite sum sum_(n=1)^infinity 10^(-2^n) = 0.0101 12) 10^(-2^1)+10^(-2^2)+10^(-2^3)+... approximate sum sum_(n=1)^infinity 10^(-2^n) ≈ 0.0101
Osserva che cosa l'insegnante ha scelto come input e quali sono stati gli output.  Secondo te, quale possibile sviluppo e quali obiettivi potrebbe avere questa prima lezione (di 2 ore)?  Secondo te, qual è / quali sono le "idee illuminanti" che l'insegnante vorrebbe far scattare (negli alunni in cui non fossero già scattate)?

Sopra, in nero, abbiamo messo, parzialmente, le uscite di WolframAlpha.
  (1) serve a far acquisire il significato, per WolframAlpha, di "...".
  (2) e (3) hanno l'obiettivo di mettere in crisi gli alunni (se non hanno già visto queste cose con l'insegnante precedente) di fronte al fatto che espressioni decimali diverse possono rappresentare lo stesso numero (poi, eventualmente, l'insegnante lavorerà sul fatto che i numeri con periodo 9 sono equivalenti a numeri con periodo 0).
  (4) - (6) hanno l'obiettivo di avviare all'idea che si possono considerare somme infinite, e che queste (altra messa in crisi) possono avere risultato finito; l'insegnante avrà intenzione di collegare queste cose all'esempio (1), che può suscitare la riflessione su qual è la somma di 0.1+0.01+0.001+...
  (7) e (8) hanno l'obiettivo di far riflettere sul fatto che termini che contengono numeri scritti impiegando le radici quadrate (numeri che non possono essere semplificati eliminando le radici) in alcuni casi possono essere sviluppati e trovati equivalenti a numeri periodici, in altri no. L'insegnante ha l'obiettivo anche di richiamare la distinzione tra numeri che sono periodici e numeri che non lo sono.
  (9) - (12) hanno l'obiettivo di introdurre (implicitamente) l'idea che una somma infinta di numeri razionali può essere non razionale. (11) fornisce un'uscita che crea qualche problema (occorre tener presente che "=" a volte indica un'eguaglianza approssimata); (12) dovrebbe chiarire i dubbi; il significato della somma infinita dovrebbe già essere stato intuito dagli esiti di (6); può farsi calcolare anche 10^(-2^1)+10^(-2^2)+...+10^(-2^5) che fornisce 0.01010001000000010000000000000001.  Quel che dovrebbe emergere con chiarezza e che tra un "1" e il successivo vi è una quantità di "0" crescente, e che quindi il numero non è periodico (pur essendo con cifre niente affatto a caso - altra eventuale messa in crisi).
  Gli obiettivi dell'insegnante sono fare il punto sulla padronanza dei numeri da parte dei ragazzi, sul significato di numero "irrazionale" (che non vuol dire con cifre "a caso"), ..., sui cui eventualmente lavorerà ulteriormente con i ragazzi,  ed avviare  (partendo anche da esempi riferiti a grafici di funzioni, algoritmi vari, ...)  alla padronanza dell'idea di limite, su cui, poi, concentrerà la propria attenzione.

  Qui si può trovare la fine del capitolo 9 del libro di Margaret Donaldson "Come ragionano i bambini", Emme Edizioni, 1979 ("Children's minds", Collins Sons & Co.Ltd., 1978), in cui viene messa in evidenza l'utilità didattica del "mettere in crisi" (ma vengono aperti anche altri problemi …).