Considera la seguente dimostrazione di un fatto evidentemente falso (perché?). La figura è uno schizzo, impiegato per aiutare la comprensione della dimostrazione. Trova dove è l'errore. E rifletti sulle difficoltà e sul ruolo delle dimostrazioni nell'insegnamento.
Teorema. Sia ABCD un quadrilatero con i lati AB e CD eguali e ∠BAD (indicato con d in figura) retto. Allora ∠ADC (indicato con d') è retto. Dimostrazione. (1) Siano L l'asse di AD, L' quello di BC e O la loro intersezione.  Dunque AO=OD, BO=OC. (2) Ma AB=CD. Quindi ABO e DOC sono triangoli uguali (o, meglio, inversamente eguali, o simmetrici). (3) Quindi ∠BAO=∠ODC (angoli indicati con a). (4) Essendo OAD isoscele, ∠DAO=∠ODA (angoli indicati con b). (5) Quindi (essendo differenze di angoli eguali) d e d' sono eguali.

La figura soprastante evidenzia che il teorema è falso. La proprietà è verificata solo se CD è parallelo ad AB.  Le figure seguenti (tracciate con R) illustrano meglio la situazione.  Il fatto è che il segmento OC non interseca il segmento AD come appare invece nel disegno che è stato schizzato.  Questo esemplifica una delle tipiche difficoltà delle dimostrazioni geometriche (spesso scavalcate nei libri di testo, in cui le dimostrazioni - a volte incomplete - sono riferite a figure la cui costruzione potrebbe essere giustificata solo dopo aver risolto la questione proposta dall'esercizio).  Non è facile, se non si ragiona "liberamente", risolvere questo esercizio.
L'esercizio mette in luce anche come è utile ricorrere al computer per studiare dinamicamente figure dipendenti da parametri.  Le dimostrazioni, in matematica, anche dei fatti più "evidenti", sono molto spesso articolate e lontane dal contesto a cui il "fatto" si riferisce (e ottenute dopo anni di tentativi da parte di più persone);  in alcuni casi sono affrontabili solo con complessi calcoli gestibili unicamente mediante il computer.  Per altro il nostro cervello non è adatto ai lunghi ragionamenti rigorosi necessari per comprendere le dimostrazioni matematiche.  Questa (accanto a motivazioni culturali presenti nel documento a cui si viene rinviati sotto) è una delle ragioni per cui le dimostrazioni non devono essere uno strumento per costruire le conoscenze matematiche ma un oggetto di conoscenza.
Il ricorso al computer e la possibilità con esso di intrecciare ragionamenti sintetici e analitici (e di studiare le figure dinamicamente) consente di affontare in modo più amichevole e comprensibile (anche non dai cosidetti "geni") i problemi e le argomentazioni geometriche.

L'esempio è tratto dal libro di Stanislas Dehaene "La Bosse des maths" (Paris, Odile Jacob, 1997), tradotto in italiano come "Il pallino della matematica" (Mondadori, 2000).  Per approfondimenti vedi le considerazioni svolte qui.

# Come sono realizzate le figure precedenti:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=3; HF=3
a=120
# Qui viene tracciato il caso in cui l'angolo a = ∠ADC è 120°
# Mettendo a=140, ..., a=90 e copiando le righe seguenti hai gli altri casi
boxmN(-5,20,0,25) # scelgo un box monometrico e Non traccio niente
Lu=4                                   # la lunghezza di AB e DC
linea(0,0,0,4, 1); linea(0,4,10,4, 1)
# Metto i nomi dei tre punti fissi
text(-1,4.5,"A",cex=0.8); text(8.8,5,"D",cex=0.8); text(-1,0,"B",cex=0.8)
Direzio(10,4, 180+a, Lu, "blue")
h=Direzionex; k=Direzioney
linea(0,0, h,k, "blue")
text(8.5,3,a,cex=0.8)                  # scrivo l'ampiezza dell'angolo
a2p(0,4,10,4, "red"); a2p(0,0,h,k, "red")
# l'intersezione delle due rette descritte come "punto e direzione"
retta_retta2(5,4, 90, h/2,k/2,angolo(c(10,0),c(0,0),c(h,k))+90)
O = soluzione         # metto in O la soluzione del calcolo precedente
spezza(c(10,5,0),c(4,O[2],4),"blue")
spezza(c(h,5,0),c(k,O[2],0),"blue")