Spiega in modo didatticamente efficace (a un alunno del triennio) la risoluzione rispetto a x della disequazione  k / x  >  x  (x e k a valori reali).

Devi trovare per quali valori di x  k/x  è maggiore di x.  Prima di metterti a fare calcoli ti conviene interpretare graficamente il problema: devi trovare, al variare del parametro k, per quali ascisse la curva  y = k/x  sta sopra alla curva  y = x.  Tieni in ogni caso conto che per x = 0 la disequazione non è definita.
– Per k > 0 si tratta di iperboli collocate nel 1° e 3° quadrante, di alcune delle quali sotto è schizzato l'andamento.  Si tratta di curve simmetriche rispetto agli assi e alla retta y = x.  y = k/x interseca y = x quando k/x = x, ossia quando x = √k e quando x = −√k.  Tenendo conto dei grafici, possiamo concludere che la disequazione equivale a 0 < x < √k OR x > −√k, ovvero che le soluzioni formano l'insieme (−∞, −√k) U (0, √k)

– Per k < 0 si tratta di iperboli collocate nel 2° e 4° quadrante.  I rami nel 2° quadrante stanno sopra a y = x, gli altri sotto.  Possiamo concludere che la disequazione equivale a x <0, ovvero che le soluzioni formano l'insieme (−∞, 0) – Per k = 0 si tratta dell'asse x, esclusa l'origine, in quanto y = 0/x per x = 0 non è definito.  y = x sta sopra all'asse x per x > 0.  Le soluzioni formano l'insieme (0,∞). Si poteva procedere anche senza riferirsi ai grafici: – se k > 0 posso moltiplicare per x entrambi i termini senza modificare il segno di disegualianza; mi riconduco a x2> k, che a sua volta ….     Ma far riferimento ai grafici consente di rendersi meglio conto di quel che accade al variare di x (ed è indubbiamente di più facile comprensione di un procedimento puramente algebrico …).     Altri riferimenti negli Oggetti Matematici

I grafici realizzati col software online WolframAlpha:

plot {y=x, y=1/x, y=-1/x, y=2/x, y=-2/x, y=3/x, y=-3/x}, x=-3..3, y=-3..3