Risolvi rispetto a k le seguenti disequazioni:

 |    2|
 |6 - —| < 3    2|k| > |k-3|    |-k| ≥ k    |k-1| ≤ 1-k
 |    k|

Risolviamo la prima disequazione. Possiamo procedere in vari modi. Prima idea: schizziamo il grafico di k → |6−2/k|. Il grafico di k → 2/k è un'iperbole che sta nel 1º e nel 3º quadrante avente per asintoti gli assi; quello di k → -2/k è una iperbole che sta nel 2º e nel 4º; quello di k → 6-2/k è il precedente alzato di 6; quello di k → |6−2/k| è ottenuto dall'ultimo ribaltando le parti sotto all'asse x. Posso concludere facilmente che il grafico finale ha un andamento simile a quello tracciato sotto e che le soluzioni sono costituite dall'intervallo in cui il grafico ha quota inferiore a 3. Gli estremi di questo intervallo, che stanno tra 0 e 0.5 e tra 0.5 ed 1, li trovo risolvendo le equazioni −(6−2/k)=3 e 6−2/k=3:
6−2/k=−3 → 6+3=2/k → 9=2/k → k = 2/9
6−2/k=3 → 6−3=2/k → 3=2/k → k = 2/3
Dunque:  2/9 < k < 2/3, ossia tutte le soluzioni formano l'intervallo (2/9, 2/3).

Altra strada, più calcolistica (senza controllo grafico del procedimento che stiamo seguendo). La disequazione |A|<B equivale a −B<A<B, quindi la nostra disequazione corrisponde a −3 < 6−2/k < 3; cambio segno (e inverto le diseguaglianze): 3 > 2/k−6 > −3; aggiungo 6: 9 > 2/k > 3; divido per 2: 9/2 > 1/k > 3/2; prendo il reciproco (e inverto le diseguaglianze): 2/9 < k < 2/3

Risolviamo la seconda disequazione, 2|k| > |k − 3|.  Schizziamo i grafici di k → 2|k| e di k → |k−3|. Dallo schizzo capiamo subito che le soluzioni sono costituite dai numeri che stanno in due intervalli del tipo (−∞,A) e (B,∞) e, se tracciamo bene i grafici, capiamo subito che A = −3 e B = 1. Ad ogni modo procediamo con i calcoli.  Per A dobbiamo intersecare k → −2k e k → 3−k, ossia risolvere rispetto a k l'equazione −2k = 3−k; otteniamo −3 = k, ossia k = −3.  Per B dobbiamo intersecare k → 2k e k → k−3, ossia risolvere rispetto a k l'equazione 2k = k−3; otteniamo k = 3.  Dunque le soluzioni formano l'unione degli intervalli (−∞,−3) e (1,∞). Sotto, a sinistra, una rappresentazione grafica di questa disequazione.  Si poteva procedere anche in modo puramente algebrico, distinguendo i casi a seconda dei segni di k e di k−3; ma sarebbe stata una strada inutilmente laboriosa.

Risolviamo la terza disequazione, |−k| ≥ k.  Schizziamo i grafici di k → |−k| e di k →k; il primo, uguale al grafico di k → |k| (è simmetrico rispetto all'asse y), ha la forma di V, il secondo è la retta che coincide col grafico precedente nel 1º quadrante; sopra, a destra, sono raffigurati, in parte, i due grafici.  Si ha immediatamente che il primo grafico sta sopra o coincide col secondo sempre, ossia che |−k| ≥ k è vera per ogni valore di k. Dunque le soluzioni sono tutti i numeri reali: (−∞, ∞).

Risolvere, rispetto a k, la quarta disequazione, |k−1| ≤ 1−k, se ci si riflette, è banale.  |k−1| = |1−k|, |A| ≤ A per ogni A≥0. Quindi la disequazione equivale a 1−k≥0, ossia a 1 ≥ k, ossia a k ≤ 1. Graficamente (vedi la figura seguente) la cosa è immediata: il grafico di k → |k−1| non supera, anzi, coincide, con quello di k → 1−k, nella parte di piano cartersiano con ascissa minore o eguale ad 1.

  Per altri commenti: disequazioni neGli Oggetti Matematici.

La soluzione di queste disequazioni è facilmente realizzabile con  WolframAlpha  inserendo, via via: abs(6-2/x) < 3 for x real       y=abs(6-2/x) for -2 <= x <= 2 2*abs(k) > abs(k-3)       solve abs(-k) >= k solve abs(k-1) <= 1-k for k I grafici di y=3-|6-2/x|, y=2*|x|-|x-3|, y=|-x|-x, y=1-x-|x-1| sono fattibili anche con script come questo; si veda dove essi stanno sopra all'asse x. (in ordine: blue, green, red, orange) Ma queste semplici disequazioni bisogna saperle affrontare senza ricorrere al computer

Come fare i grafici e controllare la risoluzione delle disequazioni con R (vedi).

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")   # se non l'hai già caricato

BF=2.5; HF=2.5
# 1^ disequazione ("<")
f1 = function(k) abs(6-2/k); f2 = function(k) 3
Plane(-3,3, 0,8)
graph2(f1, -3,3, "brown"); graph2(f2, -3,3, "seagreen")
Diseq(f1,f2, -3,3, "blue")
x=solution2(f1,f2, 0.1,0.4); x; fraction(x)
#  0.2222222   2/9
x=solution(f1,3,0.4,1); x; fraction(x)
#  0.6666667   2/3          (2/9, 2/3)
#
# 2^ disequazione (">")
f1 = function(k) 2*abs(k); f2 = function(k) abs(k-3)
graphF(f1, -5,5, "brown"); graph(f2, -5,5, "seagreen")
Diseq(f2,f1, -5,5, "blue")
solution2(f1,f2, -5,0)
# -3
solution2(f1,f2, 0,2)
#  1                       (-Inf, -3), (1,Inf)
#
# 3^ disequazione ("≥", con anche "=")
f1=function(k) abs(-k); f2=function(k) k
graphF(f2, -4,4, "brown"); graph(f1, -5,5, "seagreen")
Diseq(f2,f1, -4,4, "blue")
# oltre al "triangolo" ci sono i punti su y=x
#                          (-Inf, Inf)
#
# 4^ disequazione ("≤", con anche "=")
f1=function(k) abs(k-1); f2=function(k) 1-k
graphF(f2, -4,4, "brown"); graph(f1, -4,4, "seagreen")
Diseq(f1,f2, -4,4, "blue")
# solo i punti sul ramo sinistro della "V"
#                          (-Inf, 1]