Risolvi le seguenti disequazioni rispetto a x:
4 ≤ 4 1/x < 3 2x + 1 < 4 2 + x < 2 x
3/(4x 5) > 4
4 ≤ 4 è una disequazione vera; i valori di x per la quale è vera sono quindi tutti i numeri reali. | |
1/x < 3 Un'idea può essere quella di capovolgere la disequazione applicando ai due membri il "reciproco", ossia la funzione z → 1/z, per ottenere, pensando al fatto che tale funzione decresce (all'aumentare di z diminuisce 1/z), la disequazione col segno di diseguaglianza cambiato: x > 1/3 Ma facendo così perdo tutte le soluzioni costituite dai numeri negativi: per x negativo 1/x è negativo e quindi sicuramente minore di 3. L'errore è dovuto al fatto che z → 1/z decresce separtamente sia per z<0, ossia nell' intervallo (-∞,0), che per z>0, ossia nell'intervallo (0,∞), ma non per z≠0: se u<0 e v>0 ho che v>u ma non che 1/v<1/u. Avrei potuto concludere solo che per x>0 la disequazione 1/x<3 equivale a x>1/3 (3 cade in (0,∞) ed è quindi questo, ossia x>0, l'intervallo che devo considerare); per quel che accade per x<0 avrei dovuto ragionare diversamente (qui 1/x è minore di zero quindi non vi sono altre soluzioni). Schizzare il grafico mi aiuta a capire che le soluzioni, ossia gli x per cui 1/x sta sotto a 3, sono sia x<0 che x>1/3 (l'ascissa in cui si intersecano le curve y=3 e y=1/x). | |
2x + 1 < 4 applico ai due membri "1" (che mantiene l'ordine, ossia è crescente) e tengo conto che 11=0, 41=3: 2x < 3 applico il "cambio-segno", che è decrescente (l'opposto del numero minore è maggiore, ovvero ad input minore corrisponde output maggiore), per cui cambio "<" in ">": 2x > 3 applico "/2": x > 3/2 Le soluzioni formano l'insieme (1.5, ∞) Per controllare graficamente la risoluzione della disequazione ci conviene considerarla nella forma 2x<3 (a cui è facile arrivare). Il grafico di y=2x sta sotto a y=3 a destra del punto in cui lo interseca; l'intersezione avviene per x=-3/2, quindi le soluzioni sono gli x tali che x > | |
2 + x < 2 x applico ai due membri "2": x < x senza ulteriori manipolazioni considero il fatto che un numero è minore del suo opposto quando è negativo: x < 0 Potevo arrivare a questa conclusione anche applicando "+x" e poi "/2" ai due membri di x<x Studiando x<x graficamente devo trovare dove y=x sta sotto a y=x: schizzo i due grafici e capisco che ciò accade a sinistra dell'origine: x<0. | |
3/(4x 5) > 4 applico "/3": 1/(4x 5) > 4/3 applico "*4": 1/(x 5/4) > 16/3 posso applicare il "reciproco" solo se x5/4>0, quando ha lo stesso segno di 16/3; per x5/4<0 so che la disequazione è sicuramente falsa. x 5/4 < 3/16 AND x5/4 > 0 x < 3/16+5/4 AND x > 5/4 1.25 = 5/4 < x < 23/16 = 1.4375 Le soluzioni formano l'intervallo (1.25, 1.4375). Studiando 1/(x 5/4) > 16/3 graficamente devo trovare dove y=1/(x5/4) sta sopra a y=16/3: schizzo i due grafici e capisco che ciò accade tra l'asintoto x=5/4 e l'intersezione tra le due curve, la cui x la trovo risolvendo 1/(x5/4) = 16/3: x5/4 = 3/16 x = 3/16+5/4 = 3/16+20/16 = 23/16. 5/4 < x < 23/16 | |
1/(x 5/4) < 2 Applico la negazione e mi riconduco a: 1/(x 5/4) > 2 Ora procedo come sopra: le soluzioni sono tra x=5/4 e la x del punto di intersezione di y=1/(x5/4) con y=2, che ricavo risolvendo: 1/(x5/4) = 2 x5/4 = 1/2 x = 1/2+5/4 = 2/4+5/4 = 7/4. 5/4 < x < 7/4 |
La soluzione numerica e la rappresentazione grafica di queste disequazioni è facilmente realizzabile con
WolframAlpha inserendo, via via,