Risolvi le seguenti disequazioni rispetto a x:
4 ≤ 4         1/x < 3         –2x + 1 < 4         2 + x < 2 – x         3/(4x – 5) > 4         – 1/(x – 5/4) < –2

4 ≤ 4 è una disequazione vera; i valori di x per la quale è vera sono quindi tutti i numeri reali.
1/x < 3   Un'idea può essere quella di capovolgere la disequazione applicando ai due membri il "reciproco", ossia la funzione z 1/z, per ottenere, pensando al fatto che tale funzione decresce (all'aumentare di z diminuisce 1/z), la disequazione col segno di diseguaglianza cambiato:
x > 1/3   Ma facendo così perdo tutte le soluzioni costituite dai numeri negativi: per x negativo 1/x è negativo e quindi sicuramente minore di 3. L'errore è dovuto al fatto che z 1/z decresce separtamente sia per z<0, ossia nell' intervallo (-,0), che per z>0, ossia nell'intervallo (0,), ma non per z0: se u<0 e v>0 ho che v>u ma non che 1/v<1/u. Avrei potuto concludere solo che per x>0 la disequazione 1/x<3 equivale a x>1/3 (3 cade in (0,) ed è quindi questo, ossia x>0, l'intervallo che devo considerare); per quel che accade per x<0 avrei dovuto ragionare diversamente (qui 1/x è minore di zero quindi non vi sono altre soluzioni).
  Schizzare il grafico mi aiuta a capire che le soluzioni, ossia gli x per cui 1/x sta sotto a 3, sono sia x<0 che x>1/3 (l'ascissa in cui si intersecano le curve y=3 e y=1/x).
–2x + 1 < 4   applico ai due membri "–1" (che mantiene l'ordine, ossia è crescente) e tengo conto che 1–1=0, 4–1=3:
–2x < 3   applico il "cambio-segno", che è decrescente (l'opposto del numero minore è maggiore, ovvero ad input minore corrisponde output maggiore), per cui cambio "<" in ">":
2x > –3   applico "/2":
x > –3/2   Le soluzioni formano l'insieme (–1.5, )
  Per controllare graficamente la risoluzione della disequazione ci conviene considerarla nella forma –2x<3 (a cui è facile arrivare). Il grafico di y=–2x sta sotto a y=3 a destra del punto in cui lo interseca; l'intersezione avviene per x=-3/2, quindi le soluzioni sono gli x tali che x > –3/2.
2 + x < 2 – x   applico ai due membri "–2":
x < – x   senza ulteriori manipolazioni considero il fatto che un numero è minore del suo opposto quando è negativo:
x < 0   Potevo arrivare a questa conclusione anche applicando "+x" e poi "/2" ai due membri di x<–x
  Studiando x<–x graficamente devo trovare dove y=x sta sotto a y=–x: schizzo i due grafici e capisco che ciò accade a sinistra dell'origine: x<0.
3/(4x – 5) > 4   applico "/3":
1/(4x – 5) > 4/3   applico "*4":
1/(x – 5/4) > 16/3   posso applicare il "reciproco" solo se x–5/4>0, quando ha lo stesso segno di 16/3; per x–5/4<0 so che la disequazione è sicuramente falsa.
x – 5/4 < 3/16 AND x–5/4 > 0
x < 3/16+5/4 AND x > 5/4
1.25 = 5/4 < x < 23/16 = 1.4375   Le soluzioni formano l'intervallo (1.25, 1.4375).
  Studiando 1/(x – 5/4) > 16/3 graficamente devo trovare dove y=1/(x–5/4) sta sopra a y=16/3: schizzo i due grafici e capisco che ciò accade tra l'asintoto x=5/4 e l'intersezione tra le due curve, la cui x la trovo risolvendo 1/(x–5/4) = 16/3:
x–5/4 = 3/16
x = 3/16+5/4 = 3/16+20/16 = 23/16.
– 1/(x – 5/4) < –2   Applico la negazione e mi riconduco a:
1/(x – 5/4) > 2   Ora procedo come sopra: le soluzioni sono tra x=5/4 e la x del punto di intersezione di y=1/(x–5/4) con y=2, che ricavo risolvendo:
1/(x–5/4) = 2
x–5/4 = 1/2
x = 1/2+5/4 = 2/4+5/4 = 7/4.

La soluzione numerica e la rappresentazione grafica di queste disequazioni è facilmente realizzabile con  WolframAlpha  inserendo, via via,   1/x < 3,   -2*x+1 < 4,   2+x < 2-x,   3/(4*x-5) > 4,   -1/(x-5/4) < -2.

  Per altri commenti: disequazioni neGli Oggetti Matematici.