Risolvi le seguenti disequazioni rispetto a x:
  –2x² – x + 1 > 0       √x > x – 1       x² > x       √x - √(x-1) > 0

• Per risolvere (rispetto a x) -2x² - x - 1 > 0  si può procedere in vari modi.
Si può trasformare la disequazione in -2x² > x-1, schizzare le curve y=-2x² e y=x-1 e (vedi figura sotto a sinistra) dedurre che le soluzioni, ossia le x per cui la prima curva sta sopra alla seconda, sono un intervallo del tipo (a,b). Tracciando con più cura i due grafici (per entrambi la cosa è facile) si capisce facilmente che questo intervallo è (-1,1/2). È facile verificare in questo caso che per x=-1 e x=1/2 effettivamente -2x² e x-1 assumono lo stesso valore.
La disequazione poteva essere trasformata anche in -x+1 > 2x² e arrivare alla stessa conclusione ragionando sulla figura sotto al centro.

Oppure, tenendo conto che il coefficiente direttivo di -2x²-x+1 è negativo e che per x=0 tale termine vale 1, si poteva dedurre che y=-2x²-x+1 è una parabola con la concavità verso il basso e che sta parzialmente sopra all'asse x, e arrivare in questo modo alla conclusione che la disequazione ha come soluzioni i valori di un intervallo del tipo (a,b): quello nei cui valori la funzione x -2x²-x+1 ha grafico sopra all'asse x.
Per trovare i valori di di a e b si può risolvere l'equazione -2x²-x+1 = 0. Il modo più semplice è osservare che -2x²-x+1 si azzera per x=-1, ossia è divisibile per (x+1), eseguire la divisione (-2x²-x+1)/(x+1) = -2x+1; dedurre che -2x²-x+1 = (x+1)(-2x+1) da cui le soluzioni x=-1 e x=1/2. Ovvero procedere per successivi raccoglimenti: -2x²-x+1 = -x²-x²-x+1 = 1-x²-(x+x²) = (1-x)(1+x)-x(1+x) = (1-2x)(1+x). Oppure usare le "formule risolutive". O, alla disperata, risolverla numericamente con l'aiuto di un programmino.

• Per risolvere (rispetto a x) √x > x – 1  conviene sicuramente procedere aiutandosi col grafico (le radici quadrate comportano spesso ragionamenti non facilissimi se si risolove una disequazione solo con tecniche algebriche).
Tracciamo dunque (vedi figura sotto a sinistra) y=√x (è la parabola x=y² ristretta a y≥0) e y=x-1 (la retta y=x traslata con Δy=-1). Un grafico sta sopra all'altro in un intervallo del tipo [0,a), 0 compreso. Dal grafico possiamo approssimare l'estremo destro con a=2.6. Per trovare a (la ascissa del punto di incontro dei due grafici) con più precisione possiamo procedere con tentativi ragionati usando una calcatrice; ma in questo caso è facile risolvere con tecniche algebriche l'equazione √x = x-1 (avendo comunque in mente il grafico, per controllare la manipolazione simbolica):
√x = x-1 <==> x = (x-1)² AND x-1≥0 <==> x = x²-2x+1 AND x≥1 <==> x²-3x+1 = 0 AND x≥1 <==> (x = 3/2 + √5/2 OR x = 3/2 - √5/2) AND x≥1 <==> x = √5/2 + 3/2 = 2.6180…
[Nota1: ho aggiunto la condizione x-1≥0 in quanto ho applicato l'elevamento al quadrato, che è una funzione iniettiva solo per input positivi o per input negativi, non su tutto R; non ho considerato il caso degli input negativi in quanto a primo membro ho il termine √ che è sicuramente positivo.
Nota2: se non avessi messo la condizione x-1≥0 avrei ottenuto anche -√5/2+3/2 = 0.3819…, che sarebbe la x del punto in cui y=-√x interseca y=x-1: vedi figura; l'osservazione dei - e il ragionamento sui - grafici mi avrebbe comunque consentito di individuare l'errore]

• Anche per risolvere (rispetto a x) x²>x  conviene sicuramente procedere aiutandosi coi grafici: vedi figura sopra a destra. Si ha immediatamente che l'insieme delle soluzioni è (-∞,0) U (1,∞).
Se avessi voluto procedere algebricamente mi sarebbe convenuto trasformare la disequanzione in x²–x>0, poi in x(x-1)>0 e osservare che il prodotto è positivo se x>0 AND x-1>0 o se x<0 AND x-1<0:
(x>0 AND x>1) OR (x<0 AND x<1) <==> x>1 OR x<0.

• √x - √(x-1) > 0 equivale a √x > √(x-1), che, nel suo dominio, essendo la radice una funzione crescente, equivale a x > x-1, che è sempre vera. Il dominio, e quindi l'insieme delle soluzioni, è [1,∞). Volendo si poteva pensare ai grafici: le due funzioni rappresentate a lato ed entrambe crescenti, hanno grafici il secondo ottenuto dal primo con una traslazione orizzontale di passo positivo; quindi il primo sta sempre sopra al secondo.

La soluzione numerica e la rappresentazione grafica di queste disequazioni è facilmente realizzabile con  WolframAlpha  inserendo, via via,   -2*x^2-x+1 > 0,   sqrt(x) > x - 1,   x^2 > x,   sqrt(x) - sqrt(x-1) > 0. I grafici sono fattibili anche con script come questo.

  Per altri commenti: disequazioni,  funz.polinomiali (per le parabole),  funzioni(2) (per la iniettività) e funz.polinomiali (per la risoluz. delle eq. di 2° grado) neGli Oggetti Matematici.

Verifica col computer, usando ad esempio R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) -2*x^2; g = function(x) x-1
BF=2.5; HF=2.5
Plane(-3,3, -4,1)
graph(f,-3,3,"black"); graph(g,-3,3, "red")
Diseq(g,f, -3,3, "brown")
#
f = function(x) sqrt(x); g = function(x) x-1
Plane(0,4, -2,3)
graph(f,0,4,"black"); graph(g,0,4, "red")
Diseq(g,f, 0,3, "brown")
#
f = function(x) sqrt(x); g = function(x) sqrt(x-1)
Plane(0,4, 0,3)
graph(f,0,4, "black"); graph(g,0,4, "red")
# g non è def. "a sinistra" di 1
Diseq(g,f, 1,4, "brown")