Quindi F è una funzione continua che taglia l'asse x in 1, 2 o 3 punti.
Il coefficiente direttivo è in ogni caso positivo, per cui la funzione è ovunque crescente o lo è tranne che in un intervallo in cui presenta un'oscillazione.
Risolvi le seguenti disequazioni rispetto a x:
x3 – 3x2 – x + 3 > 0
x3 – 7x2 + 15x – 9 ≤ 0
8x3 + 6x2 + 1.5x + 0.125 < 0
| Sono tutte del tipo F(x)…0 con F funzione polinomiale di 3° grado. Quindi F è una funzione continua che taglia l'asse x in 1, 2 o 3 punti. Il coefficiente direttivo è in ogni caso positivo, per cui la funzione è ovunque crescente o lo è tranne che in un intervallo in cui presenta un'oscillazione. | |
| Si possono presentare varie collocazioni del grafico rispetto all'asse x, a cui corrispondono diverse forme degli insiemi delle soluzioni delle disequazioni del tipo F(x)…0 (vedi figura sopra a destra). Avendo in mente la forma del grafico, una volta individuate le soluzioni di F(x)=0, è facile determinare quelle di una disequazione F(x)…0. L'unica situazione non banale è quella in cui le soluzioni di F(x)=0 sono 2: si potrebbero presentare le due situazioni alternative 2 (grafico che attraversa l'asse per la soluzione inferiore) e 4 (grafico che attraversa l'asse per la soluzione maggiore). | |
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x3 – 3x2 – x + 3 > 0 In questo caso è facile risolvere l'equazione F(x)=0 con delle fattorizzazioni. Si può fare: x3 – 3x2 – x + 3 = x2(x – 3) – (x – 3) = (x2 – 1)(x – 3) = (x – 1)(x + 1)(x – 3) che si annulla per x=1, x=–1 e x=3. Il grafico sta sopra all'asse x quando –1 < x <1 o 3 < x. Avrei potuo, in modo più complicato, ragionare così: (x–1)(x+1)(x–3)>0 se i tre termini sono tutti positivi o se uno solo lo è; la prima cosa accade se x–3 (il termine più piccolo) lo è; la seconda cosa accade se è positivo x+1 (il termine maggiore) e negativo x–1 (l'intermedio). Proseguendo si ritrovano le soluzioni trovate sopra. |
| x3 – 7x2 + 15x – 9 ≤ 0 In questo caso non è facilissimo fattorizzare F(x) senza l'uso di un programma. Potremmo risolvere F(x)=0 con un metodo grafico o numerico. Ma essendo i coefficienti interi possiamo provare a cercare per tentativi delle soluzioni per poi usare il teorema del resto. In effetti per x=1 F(x) vale 0, per cui posso raccogliere x–1: x3–7x2+15x–9 diviso x–1 fa x2–6x+9, che è facile fattorizzare come (x–3)2. Quindi x3–7x2+15x–9 = (x–1)(x–3)2. Le soluzioni di F(x)=0 sono 2. Capiamo facilmente che il grafico ha la forma a destra (l'alternativa 2 discussa sopra): è salendo o scendendo sopra a 1 che (x–1)(x–3)2 cambia segno. Il grafico sta sotto o tocca l'asse x quando x ≤ 1 o x = 3. In questo caso sarebbe stato facile ragionare anche senza grafico: (x–1)(x–3)2 è 0 quando x=1 o x=3 e è negativo quando x–1 lo è, ossia quando x<1. |
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8x3 + 6x2 + 1.5x + 0.125 < 0 Se fattorizzo F(x) con un programma ottengo 8(x+1/4)(x+1/4)(x+1/4). Ovvero se faccio il grafico di F e cerco dove taglia l'asse x con un programma trovo che accade per x=-1/4. "A mano" avrei potuto cercare di trovare un x che azzeri F(x); dato che 0.125=1/8 posso provare con x = -1/2, -1/4, … per sperare di riuscire con compensazioni varie ad azzerare il tutto. In questo caso "fortunato" si trova effettivamente che F(-1/4)=0; poi si divide per x+1/4; ecc. Si poteva anche moltiplicare per 8 ottenendo: 64x3 + 48x2 + 12x + 1 < 0 e aver l'occhio per individuarvi un caso particolare di (A+1)3, con A=4x. In ogni caso si conclude che vi è un unico punto (x=-1/4) in cui il grafico taglia l'asse x, per cui il grafico ne sta sotto per x < -1/4. (vedi Nota). |
Per altri commenti: 
disequazioni, funz.polinomiali (e calcolo combinatorio) neGli Oggetti Matematici.
Nota. Se si conosce il concetto di derivata, l'ultima disequazione viene risolta molto più agevolmente in quanto risulta facile stabilire la forma del grafico:
d(8x3+6x2+1.5x+0.125) / dx = 24x2+12x+1.5
d(24x2+12x+1.5) / dx = 48x+12 = 0 per x = -1/4
Qui la curva cambia concavità e la pendenza è [24x2+12x+1.5]x=-1/4 = 3/2-3+3/2 = 0.
Nel caso della seconda disequazione la derivazione mi avrebbe consentito di verificare facilmente che per x=3 il grafico tocca senza attraversare l'asse x: ivi la derivata prima si annulla e la derivata seconda è positiva.
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La soluzione numerica e la rappresentazione grafica di queste disequazioni è facilmente realizzabile con
WolframAlpha inserendo, via via, I grafici sono fattibili anche con script come questo. |
# Calcoli e grafici con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") # se non l'hai già caricato
f1 = function(x) x^3-3*x^2-x+3
f2 = function(x) x^3-7*x^2+15*x-9
f3 = function(x) 8*x^3+6*x^2+1.5*x+0.125
BF=2.5; HF=2.5
solpol(c(3,-1,-3,1)) # 1 -1 3
graphF(f1,-2,4, "brown")
zero=function(x) 0; Diseq(zero,f1, -2,4, "brown")
#
solpol(c(-9,15,-7,1)) # 1 3
graphF(f2,0,4, "brown")
Diseq(f2,zero,0,4, "brown")
f2(3) # 0
POINT(3,0,"red")
#
solpol(c(0.125,1.5,6,8)) # -0.25
graphF(f3,-1,1/2, "brown")
Diseq(f3,zero,-1,1, "brown")
