Risolvi, rispetto a x, le seguenti disequazioni:
5 - x 1 5 - x (1) > (2) > k 5 + x 2 5 + x
Il modo più semplice per risolvere la prima disequazione è quello di osservare che
5 - x 10 = 1 + 5 + x 5 + x[padroneggiando il concetto di limite ci si arriva senza manipolazioni: F(x) tende a -1 per x → ∞ e per x → -∞; tende a ∞/-∞ per x → -5 da destra/sinistra] | |
Il grafico di F sta sopra a y=1/2 in un intervallo (-5, a) dove a è l'ascissa del punto di intersezione. Basta dunque risolvere: (5-a)/(5+a)=1/2, ossia 2(5-a)=(5+a), ossia 5=3a, ossia a = 5/3. |
Chi gradisce le manipolazioni può procedere così:
5 - x 1 5 - x 1 5 - 3x > > 0 > 0 5 + x 2 5 + x 2 (5 + x)2(5+x > 0 AND 53x > 0) OR (5+x < 0 AND 53x < 0)
La seconda disequazione, le cui soluzioni dipendono dai valori assunti dal parametro k, non c'è alcun dubbio che convenga affrontarla graficamente.
Dobbiamo confrontare il grafico di F con quello della retta orizzontale y=k. Se k=-1 è il ramo destro del grafico di F a stare sopra alla retta, ossia la disequazione F(x)>k è vera per: x (5, ∞) Negli altri casi dobbiamo trovare l'ascissa a del punto di intersezione; otteniamo: (5-a)/(5+a)=k, ossia 5-a=(5+a)k, ossia 5(1-k)=(1+k)a, ossia a = 5(1-k)/(1+k). Controlliamo se questa formula è in accordo con quanto trovato sopra per k=1/2: a = 5(2-1)/(1+2) = 5/3: OK. Dobbiamo distinguere il caso k > -1, analogo a quello della prima disequazione, per cui si ottiene: x (5, a) = (5, 5(1-k)/(1+k)) dal caso k < -1, illustrato a fianco, per cui si ha: x (∞, a) OR x (5, ∞), ovvero x (∞, 5(1-k)/(1+k)) U (5, ∞). |
La soluzione numerica e la rappresentazione grafica di queste disequazioni è facilmente realizzabile con
WolframAlpha inserendo, via via: I grafici sono fattibili anche con script come questo. |
# Lo studio usando R (vedi): source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") # se non l'hai già caricato f = function(x) (5-x)/(5+x) BF=3; HF=2.5 Plane(-10,10, -10,10); graph2(f, -10,10, "brown") K = function(x) 1/2; graph2(K, -10,10, "seagreen") Diseq(K,f, -10,10, "brown") # grafico sotto a sinistra x=solution2(K,f1, 0,5); x; fraction(x) # 1.666667 5/3 POINT(5/3,f1(5/3), "red")Plane(-10,10, -10,10); graph2(f, -10,10, "brown") K = function(x) -5; graph2(K, -10,10, "seagreen") Diseq(K,f, -10,10, "brown") # grafico sopra a destra x=solution2(K,f1, -100,-5.1); x; fraction(x) # -7.5 -15/2 POINT(x,f1(x), "red")