Risolvi, rispetto a x, le seguenti disequazioni:

     5 - x   1         5 - x
(1)  ————— > —    (2)  ————— > k
     5 + x   2         5 + x

  Il modo più semplice per risolvere la prima disequazione è quello di osservare che F: x (5-x)/(5+x) non è definita per x=-5, e che ha un grafico come quello a lato (iperbole y=10/x traslata orizzontalmente di -5 e verticalmente di -1), cosa che si può capire facendo la divisione tra i due polinomi (-1 con resto 10) e ottenendo la riscrittura seguente:
  5 - x         10
  ————— = —1 + —————
  5 + x        5 + x
[padroneggiando il concetto di limite ci si arriva senza manipolazioni: F(x) tende a -1 per x → ∞ e per x → -∞; tende a ∞/-∞ per x → -5 da destra/sinistra]
Il grafico di F sta sopra a y=1/2 in un intervallo (-5, a) dove a è l'ascissa del punto di intersezione. Basta dunque risolvere:
(5-a)/(5+a)=1/2, ossia 2(5-a)=(5+a), ossia 5=3a, ossia a = 5/3.

Chi gradisce le manipolazioni può procedere così:

  5 - x   1     5 - x   1          5 - 3x
  ————— > —     ————— – — > 0     ———————— > 0
  5 + x   2     5 + x   2         (5 + x)2

(5+x > 0 AND 5–3x > 0) OR (5+x < 0 AND 5–3x < 0)
(x > –5 AND 5/3 > x) OR (x < –5 AND 5/3 < x)
5/3 > x > –5 OR falso
5/3 > x > –5
x (–5, 5/3)

La seconda disequazione, le cui soluzioni dipendono dai valori assunti dal parametro k, non c'è alcun dubbio che convenga affrontarla graficamente.

Dobbiamo confrontare il grafico di F con quello della retta orizzontale y=k.
Se k=-1 è il ramo destro del grafico di F a stare sopra alla retta, ossia la disequazione F(x)>k è vera per:
x (–5, ∞)
  Negli altri casi dobbiamo trovare l'ascissa a del punto di intersezione; otteniamo:
(5-a)/(5+a)=k, ossia 5-a=(5+a)k, ossia 5(1-k)=(1+k)a, ossia a = 5(1-k)/(1+k).
Controlliamo se questa formula è in accordo con quanto trovato sopra per k=1/2: a = 5(2-1)/(1+2) = 5/3: OK.
  Dobbiamo distinguere il caso k > -1, analogo a quello della prima disequazione, per cui si ottiene:
x (–5, a) = (–5, 5(1-k)/(1+k))
  dal caso k < -1, illustrato a fianco, per cui si ha:
x (–∞, a) OR x (–5, ∞), ovvero x (–∞, 5(1-k)/(1+k)) U (–5, ∞).
 
 

   

La soluzione numerica e la rappresentazione grafica di queste disequazioni è facilmente realizzabile con  WolframAlpha  inserendo, via via:
y=(5-x)/(5+x), y=1/2, for -10 <= x <=10, -8<=y<=8
(5-x)/(5+x) > k

I grafici sono fattibili anche con script come questo.

# Lo studio usando R  (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")    # se non l'hai già caricato
f = function(x) (5-x)/(5+x)
BF=3; HF=2.5
Plane(-10,10, -10,10); graph2(f, -10,10, "brown")
K = function(x) 1/2; graph2(K, -10,10, "seagreen")
Diseq(K,f, -10,10, "brown")                  # grafico sotto a sinistra
x=solution2(K,f1, 0,5); x; fraction(x)
#  1.666667  5/3
POINT(5/3,f1(5/3), "red")
Plane(-10,10, -10,10); graph2(f, -10,10, "brown") K = function(x) -5; graph2(K, -10,10, "seagreen") Diseq(K,f, -10,10, "brown") # grafico sopra a destra x=solution2(K,f1, -100,-5.1); x; fraction(x) # -7.5 -15/2 POINT(x,f1(x), "red")