Risolvi la disequazione (nell'incognita x)  4x < 2x²+1

Prima di mettersi a fare calcoli conviene avere un'idea grafica della situazione. Possiamo fare il grafico di x → 2x² e di x → 4x−1 e vedere quando il grafico della prima funzione sta sopra a quello della seconda (è facile schizzare il grafico delle due funzioni, ottenendo qualcosa di simile alla figura sottostante a sinistra) o il grafico di x → 2x²−4x+1 (ottenendo una figura simile a quella sottostante a destra) e capire che la soluzione è del tipo (−∞,h) ∪(k,∞) con h ≈ 0.3 e k ≈ 1.7.

Ora possiamo fare i calcoli. Conviene trasformare la disequazione in 0 < 2x²−4x+1 e trovare le soluzioni, h e k, dell'equazione 2x²−4x+1 = 0.
    Possiamo farlo manipolando l'equazione precente o usando direttamente la formula risolutiva per le equazioni polinomiali di 2º grado:  −b/(2a)±√(b²−4ac)/(2a)  se a, b e c sono i coefficienti dei termini di grado 2, 1 e 0:
    4/4 ± √(16−8)/4 = 1 ± 2√(4−2)/4 = 1 ± √2/2  (e √2/2 ≈ 0.7: OK).
    Dunque la soluzione è  (−∞, 1−√2/2) ∪ (1+√2/2, ∞).

Posso controllare la risposta utilizzando questo script online.

Controllo con R:
f <- function(x) 4*x; g <- function(x) 2*x^2+1
box(-2,3,-1,12); grafico(f,-2,3, 1); grafico(g,-2,3, 2)
diseq(f,g, -2,3, "blue")
# le intersezioni:
soluz2(f,g, 0,1); soluz2(f,g, 1,3)
# 0.2928932 1.707107
1-sqrt(2)/2; 1+sqrt(2)/2
# 0.2928932 1.707107
 

    Per altri commenti: disequazioni e funz. polinomiali neGli Oggetti Matematici.