Ho tre verghe (barrette metalliche) composte di argento, rame e stagno. Le loro composizioni sono:

argento  rame   stagno 
 1ª 80%17.5%2.5%
70%25%5%
60%30%10%

Quanto metallo occorre prendere da ciascuna verga per ottenere un metallo composto nel modo seguente?

argento: 74%    rame: 21.625%   stagno: 4.375%

Siano x, y e z le frazioni di metallo che bisogna prendere da ciascuna verga. Il contributo di argento che porta la prima verga è x·80%, ossia 0.8x. La parte complessiva di argento è 0.8x+0.7y+0.6z, e questa deve essere uguale a 74%, ossia 0.74. Moltiplicando per 10 otteniamo l'equazione: 8x+7y+6z = 7.4. Procedendo analogamente otteniamo il sistema:

{

8x+7y+6z = 7.4
7x+10y+12z = 8.65
x+2y+4z = 1.75

{

16x+14y+12z = 14.8 #
7x+10y+12z = 8.65 # •
3x+6y+12z = 5.25 •

{

9x+4y = 6.15 #
4x+4y = 3.4 #
x+2y+4z = 1.75
moltiplichiamo per 2 e per 3 i membri della 1ª e della
2ª eq. in modo poi da poter eliminare z mediante
sottrazioni con la 2ª equazione
ho riscritto la 3ª eq. nella
forma originale;
sottraggo la 2ª eq. dalla 1ª

{

5x = 2.75
4x+4y = 3.4
x+2y+4z = 1.75

{

x = 0.55
y = (3.4–4·0.55)/4 = 0.3
z = (1.75–0.55–0.6)/4 = 0.15

Il 55% va preso dalla prima verga, il 30% dalla seconda, il 15% dalla terza.

  Per altri commenti: sistemi neGli Oggetti Matematici.

Con R metto per ogni equazione ax+by+...=k metto in "c" a,b,...,k e ...:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
S <- c(8,7,6,7.4, 7,10,12,8.65 ,1,2,4,1.75); sistema(S)
# 0.55 0.30 0.15
soluz[2]  # se voglio solo la soluzione y (la seconda)
# 0.3
O, usando il calcolo matriciale (vedi):
ma <- matrix(data=c(8,7,1, 7,10,2, 6,12,4), nrow=3,ncol=3)
noti <- matrix(data=c(7.4,8.65,1.75), nrow=3,ncol=1)
solve(ma,noti)
#      [,1]
# [1,] 0.55
# [2,] 0.30
# [3,] 0.15
Ovvero:
ma <- matrix(data=c(8,7,6, 7,10,12, 1,2,4), nrow=3,ncol=3,byrow=TRUE)
noti <- matrix(data=c(7.4,8.65,1.75), nrow=3,ncol=1)
solve(ma,noti)