Risolvi rispetto a (x,y,z) i sistemi a fianco: |
(1) |
{ | x 2z = 1 2x + y z = 0 x 2y + z = 2 |
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(2) |
{ | x + 2y z = 1 2x y = 3 3x + y z = 5 |
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(3) |
{ | x + 2y z = 1 2x y = 3 3x + y z = 4 |
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(4) |
{ | x + 2y z = 1 y + 2(x y + 1) = 2 y + 2x x + a·y z + a = 3 |
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1) |
{ | x2z = 1 2x+yz = 0 x2y+z = 2 |
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{ | x2z = 1 2x+yz = 0 3xy = 2 |
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{ | x = 2z+1 2x+yz = 0 y = 3(2z+1)+2 |
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{ | x = 2z+1 10z+7 z = 0 y = 6z+5 |
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{ | x = 14/9 + 1 z = 7/9 y = 14/3 + 5 |
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| [con un pallino abbiamo evidenziato le equazioni la cui somma è stata sostituita alla 3ª eq.] |
Usando le matrici e un programma per il calcolo matriciale avrei potuto procedere così:
/1 0 -2\ / 1\ /x\ /x\ -1 /-5/9\
A = |2 1 -1| B = | 0| A* |y| = B |y| = A * B = | 1/3|
\1 -2 1/ \-2/ \z/ \z/ \-7/9/ |
"A mano" avrei potuto procedere anche così:
|1 0 -2| | 1 0 -2|
det(A)= |2 1 -1| = 1(1*1-1*2)-2(2*-2-1*1) = 9 | 0 1 -1| = -1-4 = -5
|1 -2 1| |-2 -2 1| x=-5/9
|1 1 -2| |1 0 1|
|2 0 -1| = -2-3+8 = 3 |2 1 0| = -2-5 = -7
|1 -2 1| y=3/9=1/3 |1 -2 -2| z=-7/9 |
2) |
{ | x + 2y z = 1 2x y = 3 3x + y z = 5 |
|
{ | x + 2y z = 1 2x y = 3 2x y = 4 |
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non esistono soluzioni in quanto si ottiene 3=4 che è falsa |
Usando le matrici avrei potuto concludere che il sistema non ha un'unica soluzione (x,y,z) osservando che:
/1 2 -1\ -1
A= |2 -1 0| det(A) = 1+4-5 = 0 per cui non posso determinare A
\3 1 -1/ ovvero eseguire divisioni per det(A). |
Per concludere che il determinante è nullo potevo anche osservare direttamente che la 2ª riga è ottenibile sottraendo la 1ª dalla 3ª (è un'osservazione simile a quello fatta sopra quando si sono combinate 1ª e 3ª eq. del sistema). |
3) |
{ | x + 2y z = 1 2x y = 3 3x + y z = 4 |
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{ | x + 2y z = 1 2x y = 3 2x y = 3 |
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{ | z = x + 2(2x3) 1 y = 2x 3 |
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| Al viariare di x abbiamo infinite soluzioni. Più formalmente, le soluzioni (x,y,z) formano l'insieme {(t, 2t3, 5t7) / tR}. Col calcolo matriciale avrei potuto concludere, come nel caso (2), che il sistema non ha un'unica soluzione. |
4) |
{ | x + 2y z = 1 y + 2(x y + 1) = 2 y + 2x x + a·y z + a = 3 |
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{ | x + 2y z = 1 0 = 0 (a2)y + a = 2 |
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{ | x = 2y + z + 1 (a2)y = (a2) |
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| Se a=2 anche l'ultima equazione è sempre vera, per cui il sistema si riduce all'equazione x = 2y+z+1; le soluzioni (x,y,z) formano l'insieme {(2t+u+1, t, u) / t, u R}. Se a2 l'ultima equazione diventa y=1; le soluzioni (x,y,z) formano l'insieme {(2+t+1, 1, t) / tR} |
Come risolvere i sistemi con questo semplice script online (che puoi anche scaricare sul computer):
Posso usare facilmente anche WolframAlpha. Primo sistema. Introduco:
x - 2 z = 1, 2 x + y - z = 0, x - 2 y + z = -2 Ottengo: x = -5/9, y = 1/3, z = -7/9
Ovvero introduco: inv {{1,0,-2},{2,1,-1},{1,-2,1}} * {{1},{0},{-2}} Ottengo: {{-5/9}, {1/3}, {-7/9}}
Secondo sistema. Introduco: x + 2 y - z = 1, 2 x - y = 3, 3 x + y - z = 5 Ottengo: no solutions exist
# Con R abbiamo, ad es. per i primi due sistemi:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
S = c(1,0,-2,1, 2,1,-1,0, 1,-2,1,-2); sistema(S)
# [1] -0.5555556 0.3333333 -0.7777778
frazio(soluzione)
# [,1]
# [1,] -5/9
# [2,] 1/3
# [3,] -7/9
S = c(1,2,-1,1, 2,-1,0,3, 3,1,-1,5); sistema(S)
[1] "non un'unica soluzione"