Risolvi rispetto a (x,y,z) i sistemi a fianco:
(1)

{

x – 2z = 1
2x + y – z = 0
x – 2y + z = –2
  (2)

{

x + 2y – z = 1
2x – y = 3
3x + y – z = 5
(3)

{

x + 2y – z = 1
2x – y = 3
3x + y – z = 4
  (4)

{

x + 2y – z = 1
y + 2(x – y + 1) = 2 – y + 2x
x + a·y – z + a = 3
1)

{

x–2z = 1
2x+y–z = 0•
x–2y+z = –2•

{

x–2z = 1
2x+y–z = 0
3x–y = –2

{

x = 2z+1
2x+y–z = 0
y = 3(2z+1)+2

{

x = 2z+1
10z+7– z = 0
y = 6z+5

{

x = –14/9 + 1
z = –7/9
y = –14/3 + 5
[con un pallino abbiamo evidenziato le equazioni la cui somma è stata sostituita alla 3ª eq.]
Usando le matrici e un programma per il calcolo matriciale avrei potuto procedere così:
    /1  0 -2\      / 1\     /x\       /x\    -1     /-5/9\
A = |2  1 -1|  B = | 0|  A* |y| = B   |y| = A * B = | 1/3|
    \1 -2  1/      \-2/     \z/       \z/           \-7/9/
"A mano" avrei potuto procedere anche così:
        |1 0 -2|                               | 1 0 -2|
det(A)= |2 1 -1| = 1(1*1-1*2)-2(2*-2-1*1) = 9  | 0 1 -1| = -1-4 = -5
        |1 -2 1|                               |-2 -2 1|        x=-5/9

|1  1 -2|                        |1  0  1|
|2  0 -1| = -2-3+8 = 3           |2  1  0| = -2-5 = -7
|1 -2  1|          y=3/9=1/3     |1 -2 -2|        z=-7/9
2)

{

x + 2y – z = 1•
2x – y = 3
3x + y – z = 5•

{

x + 2y – z = 1
2x – y = 3
2x – y = 4
  non esistono soluzioni in quanto
si ottiene 3=4 che è falsa
Usando le matrici avrei potuto concludere che il sistema non ha un'unica soluzione (x,y,z) osservando che:
   /1 2 -1\                                                     -1
A= |2 -1 0|  det(A) = 1+4-5 = 0  per cui non posso determinare A
   \3 1 -1/                      ovvero eseguire divisioni per det(A).
Per concludere che il determinante è nullo potevo anche osservare direttamente che la 2ª riga è ottenibile sottraendo la 1ª dalla 3ª (è un'osservazione simile a quello fatta sopra quando si sono combinate 1ª e 3ª eq. del sistema).
 
3)

{

x + 2y – z = 1•
2x – y = 3
3x + y – z = 4•

{

x + 2y – z = 1
2x – y = 3
2x – y = 3

{

z = x + 2(2x–3) – 1
y = 2x – 3

{

z = 5x – 7
y = 2x – 3
Al viariare di x abbiamo infinite soluzioni. Più formalmente, le soluzioni (x,y,z) formano l'insieme {(t, 2t–3, 5t–7) / tR}.  Col calcolo matriciale avrei potuto concludere, come nel caso (2), che il sistema non ha un'unica soluzione.
4)

{

x + 2y – z = 1•
y + 2(x – y + 1) = 2 – y + 2x
x + a·y – z + a = 3•

{

x + 2y – z = 1
0 = 0
(a–2)y + a = 2

{

x = – 2y + z + 1
(a–2)y = –(a–2)
Se a=2 anche l'ultima equazione è sempre vera, per cui il sistema si riduce all'equazione x = –2y+z+1; le soluzioni (x,y,z) formano l'insieme {(–2t+u+1, t, u) / t, u R}.  Se a2 l'ultima equazione diventa y=–1; le soluzioni (x,y,z) formano l'insieme {(–2+t+1, –1, t) / tR}

Come risolvere i sistemi con questo semplice script online (che puoi anche scaricare sul computer):

Posso usare facilmente anche WolframAlpha. Primo sistema. Introduco:
x - 2 z = 1, 2 x + y - z = 0, x - 2 y + z = -2     Ottengo:  x = -5/9, y = 1/3, z = -7/9
Ovvero introduco:   inv {{1,0,-2},{2,1,-1},{1,-2,1}} * {{1},{0},{-2}}     Ottengo:  {{-5/9}, {1/3}, {-7/9}}
Secondo sistema. Introduco:   x + 2 y - z = 1, 2 x - y = 3, 3 x + y - z = 5     Ottengo:  no solutions exist

# Con R abbiamo, ad es. per i primi due sistemi:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
S = c(1,0,-2,1, 2,1,-1,0, 1,-2,1,-2); sistema(S)
# [1] -0.5555556  0.3333333 -0.7777778
frazio(soluzione)
#      [,1]
# [1,] -5/9
# [2,]  1/3
# [3,] -7/9
S = c(1,2,-1,1, 2,-1,0,3, 3,1,-1,5); sistema(S)
[1] "non un'unica soluzione"