"La somma di un numero e del suo reciproco non è inferiore a 2". Questa proprietà è:
(A)  vera per ogni numero reale diverso da 0
(B)  vera solo per ogni numero reale positivo
(C)  vera solo per ogni numero reale maggiore di 1
(D)  vera solo per ogni numero reale maggiore o uguale ad 1
(E)  vera solo per ogni numero reale maggiore di 2
Motiva la risposta e, poi, dimostra la proprietà.

Se si sperimenta qualche caso, è facile capire che occorre scegliere B. Indichiamo con x il numero.
- se x < 0, x+1/x < 0, quindi escudo A.
- se x = 1, x+1/x = 2, che non è inferiore a 2: quindi escludo C ed E.
- se x = 0.1, x+1/x= 0.1+10 = 10.1, che non è inferiore a 2: quindi escludo D.
    Ora devo dimostrare B o, meglio, che
            x + 1/x ≥ 2 per ogni x > 0.
Essendo x > 0 trasformo
  x + 1/x ≥ 2  in   x·x + 1 ≥ 2·x
che trasformo in   x² – 2x + 1 ≥ 0
che trasformo in   (x–1)² ≥ 0
che è vera per ogni x.

Tuttavia il modo più efficace (e attuabile a mente, se si sanno immaginare i grafici delle funzioni più importanti) per capire come si comporta x + 1/x al variare di x è pensare alla sua rappresentazione grafica (per x>0):   y=x ha pendenza 1;   y=1/x ha pendenza che decresce e vale -1 per x=1 (è una curva simmetrica rispetto a y=x);   quindi y=x+1/x (il grafico "somma") a sinistra di x=1 ha pendenza negativa e a destra ha pendenza positiva (ossia per x=1 ha il suo punto più basso);   per x=1 x+1/x=2, quindi per ogni x positivo la curva y=x+1/x non va sotto alla retta y=2.

Per altri commenti: disequazioni neGli Oggetti Matematici.

Posso controllare rapidamente la risposta con WolframAlpha: x + 1/x >= 2     →   x > 0