Risolvi rispetto a x la disequazione sin(x) < cos(2x)

sin(x) < cos(2x) è vera per i valori delle ascisse per le quali la curva y=sin(x) sta sotto alla curva y=cos(2x). Tenendo conto che la seconda è una sinusoide contratta orizzontalmente, possiamo concludere che nelle vicinanze dei punti di ordinata 1 in cui le due curve si toccano (sono gli x tali che sin(x)=-1, ossia del tipo -π/2+2kπ con k intero) y=sin(x) sta sotto ad essa, e (trattandosi di funzioni continue) rimane sotto fino al successivo (verso destra o verso sinistra) punto di intersezione. 

Abbiamo così concluso che la disequazione è vera in un intervallo del tipo (-π/2-h, -π/2+h) privato del centro, ossia (-π/2-h,-π/2) U (-π/2,-π/2+h), e negli insiemi ottenuti da questo con traslazioni di multipli di 2π.
Per trovare esattamente le intersezioni (ci basta trovare il "?") dobbiamo fare qualche manipolazione. Ci è utile utilizzare cos(2x) = cos(x)2-sin(x)2 e cos(x)2+sin(x)2=1, da cui possiamo ottenere un'equazione in cui compare solo sin(x):
sin(x) = cos(2x) <==>  sin(x) = cos(x)2-sin(x)2 <==>  sin(x) = 1-2 sin(x)2 <==>  2 sin(x)2 + sin(x) – 1 = 0
u2 + u/2 – 1/2 = 0 <==>  (u+1/4)2-1/16-1/2 = 0 <==>  (u+1/4)2 = 9/16 <==>  u+1/4 = ± 3/4 <==>  u=–1 OR u=1/2
[ovviamente potevo risolvere 2u2+u–1 = 0 rispetto a u direttamente]
Dunque "?" corrisponde a quando u = sin(x) = 1/2, ossia a x = 30° = π/6. Il simmetrico rispetto a -π/2 è -π-π/6 = -7π/6.
Concludendo la disequazione è vera per x in (-7π/6,-π/2) U (-π/2,π/6) e più in generale in tutti gli insiemi della retta reale che si ottengono da questo con traslazioni di passo pari a un multiplo intero del periodo, ossia, in questo caso, in (-7π/6+2kπ,2kπ) U (2kπ,π/6+2kπ) al variare di k sui numeri interi.

I grafici fatti con questo script.

Posso controllare le soluzioni con WolframAlpha:

solve for x  sin(x) = cos(2*x)
     x = 1/2 π (4 n - 1) and n element of Z
     x = π (2 n + 1/6) and n element of Z
     x = π (2 n + 5/6) and n element of Z
Potevo risolvere la disequazione anche senza ricorrere al grafico:
sin(x) < cos(2x) <==>  sin(x) < cos(x)2-sin(x)2 <==>  sin(x) < 1-2 sin(x)2 <==>  2 sin(x)2 + sin(x) – 1 < 0
u2 + u/2 – 1/2 < 0 <==>  -3/4 < u+1/4 < 3/4 <==>  -1 < u < 1/2   [ovvero potevo risolvere direttamente 2u2+u–1 = 0 rispetto a u, trovare le soluzioni e concludere tenendo conto che u → 2u2+u–1 ha grafico con concavità verso l'alto]
La disequazione di partenza equivale a  -1 < sin(x) < 1/2.  Ecc.
Arriverò alle stesse conclusioni, ma anche per risolvere quest'ultima disequazione mi converrà procedere appoggiandomi al grafico della funzione sin.

Fatto il grafico, posso trovare le risposte anche utilizzando questo script online per trovare la soluzione di un'equazione e questo per trovare il minimo di una funzione, avendo definito "F" nel modo seguente:

function F(x) {
with(Math) {
y = cos(2*x)-sin(x)
return y
}}

primo script
test:
a=-2 ... b=8
0.25565380596  0.42532414826  1  -1.25761782136  -1.56294104769  0.81905027859
0.6113024615  0.11985274559  1.12326945693  -0.52024938051  -1.94701772695  
click:
a=-1 ... b=1
...
a=0.5235987755982988 b=0.5235987755982989
click:
a=2 ... b=3
...
a=2.617993877991494 b=2.6179938779914944
secondo script
a=4 ... b=6
...
a=4.712388882507636 ... b=4.712389056344137
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  
SOLUZIONI
0.523598775598299     2.617993877991494     4.712389

Per altri commenti:  funz. circolari e trigonometria neGli Oggetti Matematici.

# Con R
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f <- function(x) sin(x); g <- function(x) cos(2*x)
graficoF( f, -2*pi,3*pi, "blue"); grafico( g, -2*pi,3*pi, "red")
for(i in 1:5) diseq(g,f, -2*pi,3*pi, "brown")
soluz2(f,g, 0,2)
# 0.5235988
frazio(soluz2(f,g, 0,2)/pi)
# 1/6   tra 0 e 2 l'intersezione  in pi/6
frazio(soluz2(f,g, 2,4)/pi)
# 5/6  tra 2 e 4 l'intersezione  in 5/6*pi