Risolvi rispetto a x la disequazione sin(x) < cos(2x)

sin(x) < cos(2x) è vera per i valori delle ascisse per le quali la curva y=sin(x) sta sotto alla curva y=cos(2x). Tenendo conto che la seconda è una sinusoide contratta orizzontalmente, possiamo concludere che nelle vicinanze dei punti di ordinata 1 in cui le due curve si toccano (sono gli x tali che sin(x)=-1, ossia del tipo -π/2+2kπ con k intero) y=sin(x) sta sotto ad essa, e (trattandosi di funzioni continue) rimane sotto fino al successivo (verso destra o verso sinistra) punto di intersezione. 
Abbiamo così concluso che la disequazione è vera in un intervallo del tipo (-π/2-h, -π/2+h) privato del centro, ossia (-π/2-h,-π/2) U (-π/2,-π/2+h), e negli insiemi ottenuti da questo con traslazioni di multipli di 2π.
Per trovare esattamente le intersezioni (ci basta trovare il "?") dobbiamo fare qualche manipolazione. Ci è utile utilizzare cos(2x) = cos(x)2-sin(x)2 e cos(x)2+sin(x)2=1, da cui possiamo ottenere un'equazione in cui compare solo sin(x):
sin(x) = cos(2x) <==>  sin(x) = cos(x)2-sin(x)2 <==>  sin(x) = 1-2 sin(x)2 <==>  2 sin(x)2 + sin(x) – 1 = 0
u2 + u/2 – 1/2 = 0 <==>  (u+1/4)2-1/16-1/2 = 0 <==>  (u+1/4)2 = 9/16 <==>  u+1/4 = ± 3/4 <==>  u=–1 OR u=1/2
[ovviamente potevo risolvere 2u2+u–1 = 0 rispetto a u direttamente]
Dunque "?" corrisponde a quando u = sin(x) = 1/2, ossia a x = 30° = π/6. Il simmetrico rispetto a -π/2 è -π-π/6 = -7π/6.
Concludendo la disequazione è vera per x in (-7π/6,-π/2) U (-π/2,π/6) e più in generale in tutti gli insiemi della retta reale che si ottengono da questo con traslazioni di passo pari a un multiplo intero del periodo, ossia, in questo caso, in (-7π/6+2kπ,2kπ) U (2kπ,π/6+2kπ) al variare di k sui numeri interi.
Potevo risolvere la disequazione anche senza ricorrere al grafico:
sin(x) < cos(2x) <==>  sin(x) < cos(x)2-sin(x)2 <==>  sin(x) < 1-2 sin(x)2 <==>  2 sin(x)2 + sin(x) – 1 < 0
u2 + u/2 – 1/2 < 0 <==>  -3/4 < u+1/4 < 3/4 <==>  -1 < u < 1/2   [ovvero potevo risolvere direttamente 2u2+u–1 = 0 rispetto a u, trovare le soluzioni e concludere tenendo conto che u → 2u2+u–1 ha grafico con concavità verso l'alto]
La disequazione di partenza equivale a  -1 < sin(x) < 1/2.  Ecc.
Arriverò alle stesse conclusioni, ma anche per risolvere quest'ultima disequazione mi converrà procedere appoggiandomi al grafico della funzione sin.

# Con R
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f <- function(x) sin(x); g <- function(x) cos(2*x)
graficoF( f, -2*pi,3*pi, "blue"); grafico( g, -2*pi,3*pi, "red")
for(i in 1:5) diseq(g,f, -2*pi,3*pi, "brown")
soluz2(f,g, 0,2)
# 0.5235988
frazio(soluz2(f,g, 0,2)/pi)
# 1/6   tra 0 e 2 l'intersezione  in pi/6
frazio(soluz2(f,g, 2,4)/pi)
# 5/6  tra 2 e 4 l'intersezione  in 5/6*pi

Per altri commenti:  funz. circolari e trigonometria neGli Oggetti Matematici.