Trova la funzione polinomiale, di grado più
piccolo possibile, il cui grafico passi per esattamente i
punti seguenti:
Nell'esercizio 4a.1 (su diseq. e sistemi)
si è visto che per 4 punti di ascisse diverse può passare
una cubica, ossia il grafico di una funzione polinomiale di grado 3, o
quello di una funzione polinomiale di grado più basso. Se proviamo
a tracciare il grafico a mano di essa, otteniamo una curva simile a
quelle raffigurate sopra.
Troviamo, ora, la curva y = ax3+bx2+cx+d imponendo che passi per i quattro punti:
a·(-1)+b·1+c·(-1)+d = -10
a·0+b·0+c·0+d = -1
a·1+b·1+c·1+d = -2
a·8+b·4+c·2+d = 5
Risolviamo il sistema:
d = -1 (ex prima equazione) a + b + c = -1 (ex terza equazione) -a + b - c = -9 (ex prima equazione) 8a + 4b + 2c = 6 |
d = -1 b = -5 a =3 c = 1 |
Quindi la curva è y = 3x3 − 5x2 + x − 1.
Il grafico riportato sopra è stato fatto con questo script.
Per risolvere i sistemi lineari potevo usare anche degli script online recuperabili qui. Con "lin.system 4" posso fare:
Trattandosi di soli 4 punti potevo trovare la curva anche con tecniche di regerssione, impiegando lo script "cub. regression":
Per altri commenti: sistemi di equazioni neGli Oggetti Matematici.
Come si potrebbe procedere con R.
Regressione:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") Plane(-2,3, -20,15); POINT( c(-1,0,1,2),c(-10,-1,-2,5), "red") xy_4( c(-1,0,1,2),c(-10,-1,-2,5)) # (vedi) # = function(x) -1 + 1 *x + -5 *x^2 + 3 *x^3 f = function(x) -1 + 1 *x + -5 *x^2 + 3 *x^3; graph1(f, -2,3, "blue")Sistema lineare:
# source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") S = c(-1,1,-1,1,-10, 0,0,0,1,-1, 1,1,1,1,-2, 8,4,2,1,5); eqSystem(S) # [1] 3 -5 1 -1 # ritrovo la funzione x -> 3*x^3-5*x^2+x-1