Trova la funzione polinomiale, di grado più piccolo possibile, il cui grafico passi per esattamente i punti seguenti:  (−1, −10),  (0, −1),  (1, −2),  (2, 5). Prima di fare i calcoli prova a tracciare a mano il grafico. Trovata la funzione, tracciane il grafico usandone l'espressione, e confrontalo col precedente grafico.

     

Nell'esercizio 4a.1 (su diseq. e sistemi) si è visto che per 4 punti di ascisse diverse può passare una cubica, ossia il grafico di una funzione polinomiale di grado 3, o quello di una funzione polinomiale di grado più basso. Se proviamo a tracciare il grafico a mano di essa, otteniamo una curva simile a quelle raffigurate sopra.
    Come potrei ottenere il grafico con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
Plane(-2,3, -20,15); POINT( c(-1,0,1,2),c(-10,-1,-2,5), "red")
xy_4( c(-1,0,1,2),c(-10,-1,-2,5))   # (vedi)
# = function(x) -1 + 1 *x + -5 *x^2 + 3 *x^3
f = function(x) -1 + 1 *x + -5 *x^2 + 3 *x^3; graph1(f, -2,3, "blue")
    Troviamo, ora, la curva y = ax3+bx2+cx+d imponendo che passi per i quattro punti:
      a·(-1)+b·1+c·(-1)+d = -10
      a·0+b·0+c·0+d = -1
      a·1+b·1+c·1+d = -2
      a·8+b·4+c·2+d = 5
    Risolviamo il sistema:

      d = -1   (ex prima equazione)
a + b + c = -1 (ex terza equazione)
-a + b - c = -9 (ex prima equazione)
8a + 4b + 2c = 6
          d = -1
b = -5
a =3
c = 1

Quindi la curva è  y = 3x3 − 5x2 + x − 1  (abbiamo ritrovato quanto trovato "automaticamente" con R).

Per altri commenti: sistemi di equazioni neGli Oggetti Matematici.
    Sotto come risolvere il sistema non "a mano" ma usando R.

# source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
S = c(-1,1,-1,1,-10, 0,0,0,1,-1, 1,1,1,1,-2, 8,4,2,1,5); eqSystem(S)
# [1]  3 -5  1 -1
# ritrovo la funzione x -> 3*x^3-5*x^2+x-1
 

Nel caso di soli 4 punti potevo usare anche tecniche di regressione.

x = c(-1,0,1,2); y = c(-10,-1,-2,5); regression3(x,y)
# 3 * x^3 + -5 * x^2 + 1 * x + -1 
# la stessa funzione trovata con i metodi precedenti