Considera i due sistemi seguenti (nelle incognite x, y, z e w) e cerca di risolverli.

{   2x + y − z + 3w = 4 3x + y − w = −2 4x + 2y + z + 6w = √3 6x + 2y − 2w = 3/7

{   2x + y − z + 3w = 4 3x + y − w = −2 4x + 2y + z + 6w = √3 6x + 2y − 2w = −4

Nel primo sistema i primi elementi (ossia quelli a sinistra di "=") della seconda e della quarta equazione sono uno il doppio dell'altro, ma non sono tali i secondi elementi. Il sistema è dunque impossibile.

Nel secondo sistema i primi elementi della seconda e della quarta equazione sono uno il doppio dell'altro, e sono tali anche i secondi elementi. Le due equazioni sono dunque equivalenti, ed una può essere eliminata. Sottraendo il doppio della prima equazione alla terza, posso sostituire questa con 3z = √3−8, ossia con z = (√3−8)/3. Mi riduco, quindi, a:

{   2x + y − z + 3w = 4 3x + y − w = −2 z = (√3−8)/3

da cui

{   2x + y − (√3−8)/3 + 3w = 4 3x + y − w = −2 z = (√3−8)/3

da cui

{   x = 4w − (√3−8)/3 − 6 y = −11w + √3 + 8 z = (√3−8)/3

Si tratta di infinite soluzioni al variare di w in IR, che avrei potuto esprimere equivalentemente anche come:

{   y = −11/4x + √3/12 − 7/6 z = (√3−8)/3 w = x/4 + 5/6 + √3/12

o come

{   x = (−4y + √3/3 − 14/3)/11 z = (√3−8)/3 w = (−y + 8 + √3)/11

Il fatto che entrambi i sistemi non abbiano una sola soluzione corrisponde al fatto che il determinante della matrice dei coefficienti (di x, y, z e w) ha determinante nullo in quanto la seconda riga (3, 1, 0, −1) è proporzionale alla quarta (6, 2, 0, −2).

Ecco come affrontare problemi del genere con questo semplice script:

Posso controllare rapidamente le risposte con WolframAlpha. Es.:
2x+y-z+3w = 4, 3x+y-w = -2, 4x+2y+z+6w = sqrt(3), 6x+2y-2w = 3/7     →   no solutions exist

Ecco come affrontare problemi del genere con R:
ma <- matrix(data=c(2,3,4,6,1,1,2,2,-1,0,1,0,3,-1,6,-2),nrow=4,ncol=4)
det(ma)
    0
noti <- matrix(data=c(4,-2,sqrt(3),3/7),nrow=4,ncol=1)
solve(ma,noti)
    Error in solve(ma, noti): system is exactly singular
noti <- matrix(data=c(4,-2,sqrt(3),-4),nrow=4,ncol=1)
solve(ma,noti)
    Error in solve(ma, noti): system is exactly singular

    Vedi la voce matrici degli Oggetti Matematici.