Il poliedro raffigurato rappresenta il dominio dei vincoli di un problema di minimizzazione di una funzione obiettivo lineare a tre input F. Trova, se esiste, F tale che una possibile sequenza di vertici a cui dia luogo la soluzione del problema con il metodo del simplesso sia: (0, 0, 16), (0, 32, 16), (0, 16, 0), (8, 0, 0). Motiva la risposta.

Considero una generica funzione lineare:   F(x,y,z) = ax + by + cz + d.
Sia A=(0,0,16), B=(0,32,16), C=(0,16,0), D=(8,0,0), E=(16,0,16).
Dal tratto A-B deduco che deve essere:
F(A) ≥ F(B), ossia 16c ≥ 32b+16c, ossia b ≤ 0
F(B) ≤ F(E), ossia 32b+16c ≤ 16a+16c, ossia 2b ≤ a
F(B) ≤ F(O), ossia 32b+16c ≤ 0, ossia 2b ≤ -c
Dal tratto B-C deduco che deve essere:
F(B) ≥ F(C), ossia 32b+16c ≥ 16b, ossia -c ≤ b
Dal tratto C-D deduco che deve essere:
F(C) ≥ F(D), ossia 16b ≥ 8a, ossia a ≤ 2b
F(D) ≤ F(O), ossia 8a ≤ 0, ossia a ≤ 0
    Dunque basta che 2b = a ≤ -c ≤ b ≤ 0. Ad es.: b = -2, a = -4, c = 3, ossia che F(x,y,z) = -4x-2y+3z
Verifica: F(A)=48, F(B)=-16, F(C)=-32, F(D)=-32, F(E)=-16, F(O)=0.
NOTA. In ogni caso F(C) = F(D).

Per altri commenti: programmazione lineare neGli Oggetti Matematici.