anno var.% PIL 2006 1.4% 2007 -0.2% 2008 1.8% 2009 2.9% 2010 5.0% 2011 3.1% |
La tabella a lato riporta i valori dell'incremento del PIL (prodotto interno lordo) di una regione dal 2006 al 2011. Qual è il tasso d'incremento medio? (attenzione: non è la media aritmetica degli incrementi) |
Rispetto all'anno precedente di anno in anno il PIL è stato moltiplicato per:
1+1.4/100 1-0.2/100 1+1.8/100 1+2.9/100 1+5.0/100 1+3.1/100
Ricordo che:
Se ho una variazione annua del p% (= p/100) seguita da una del q% la variazione complessiva non è del p%+q%.
Infatti:
x → x·(1+p%) → x·(1+p%)·(1+q%) = x·(1+ p%+q% + p%·q%) ≠
x·(1+p%+q%)
Devo cercare s% tale che x·(1+s%)·(1+s%) = x·(1+p%)·(1+q%), ossia:
1 + s%^2 + 2·s% = 1 + p%+q% + p%·q%
s%^2 + 2·s% = p%+q% + p%·q%
s% = √( (1+p%)·(1+q%) ) - 1
1+s% = √( (1+p%)·(1+q%) )
Il valore inziale è stato moltiplicato 2 volte per √( (1+p%)·(1+q%) ), ossia
per la media geometrica di 1+p% e 1+q%.
In generale, in modo analogo, si trova che n successive variazioni del p1%,..., pn% equivalgono
a n successive variazioni del q% dove 1+q% è la media geometrica di 1+p1%,..., 1+pn%.
Nel nostro caso devo calcolare la radice 6ª di (1+1.4/100)·(1-0.2/100)·(1+1.8/100)·(1+2.9/100)·(1+5.0/100)·(1+3.1/100)
pow(1.014*0.98*1.018*1.029*1.05*1.03, 1/6) = 1.0199423334593285 [ pow(a,b) = a^b ]
È come se il PIL inziale fosse stato moltiplicato 6 volte per 1.0199423334593285.
Ovvero come vi fossero state 6 variazioni percentuali pari a:
( pow(1.014*0.98*1.018*1.029*1.05*1.03, 1/6) - 1 ) * 100 = 1.9942333459328498
L'incremento medio è stato dell'1.99%
( pow(1.014*0.98*1.018*1.029*1.05*1.03, 1/6) - 1 ) * 100 posso calcolarlo facilmente con questa calcolatrice mettendo il termine nella casella e cliccando [=]
Ovvero potevo introdurre 1.014, 0.98, 1.018, 1.029, 1.05, 1.03 nella casella seguente e cliccare [geo] per calcolare la media geometrica
Per approfondimenti vedi
QUI e (sul Compound annual growth rate)
QUI.