A destra è tracciato, in colore verde mare, il grafico di una funzione F, che a sinistra di −4 e a destra di 6 prosegue in modo rettilineo. In marrone è tracciato il grafico della soluzione G della equazione differenziale G'(x) = F(x) tale che G(0) = 0. Traccia il grafico di F e di G con R seguendo le indicazioni contenute qui e, poi, prova a risolvere l'equazione differenziale "a mano".   

     Il grafico di F (il numero 4 nella figura a sinistra) è ottenuto dal grafico della funzione valore assoluto spostato a destra di 1 (1), abbassato di 2 (2), prendendone poi il valore assoluto (3) e, infine, abbassandolo di 1 (4).  Quindi F è la funzione x → | |x − 1| − 2 |− 1. Posso dare i comandi seguenti per ottenere il grafico richiesto:

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source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
A = function(x) abs(x); F = function(x) A(A(x-1)-2)-1
Dy = function(x,y) F(x)
Plane(-4.5,6.5, -2,3); graph2(F, -5,7, "seagreen")
soledif(0,0, 7,1e4,"brown"); soledif(0,0, -6,1e4,"brown")

G è la antiderivata (o primitiva) di F passante per (0,0). Il suo grafico è formato da archi di parabole uguali a x2/2 in quanto la derivata di x2/2+… è del tipo x+…: il grafico di F è l'unione di segmenti o semirette di pendenza 1 o −1.
Senza fare calcoli complicati, appoggiandomi alla soluzione grafica, tenendo conto che tra −1 ed 1 G(x) = x2/2 e che negli altri intervalli ho a che fare con grafici di parabole uguali, orientate in su o in giù, con vertici in (−2,1), (2,1) e (4,0), trovo che:
a sinistra di −1 [in cui la parabola ha la concavità verso il basso e vertice in (−2,1)] si comporta come x → −(x+2)2/2+1,
a destra di 1 e a sinistra di 3 si comporta come x → −(x−2)2/2+1,
a destra di 3 si comporta come x → (x−4)2/2.

Posso controllare la cosa graficamente:
g = function(x) x^2/2; graph1(g,-1,1, "red")
h = function(x) -g(x+2)+1; graph1(h,-5,1, "red")
k = function(x) -g(x-2)+1; graph1(k,1,3, "red")
q = function(x) g(x-4); graph1(q,3,7, "red")

I grafici possono essere realizzati anche con WolframAlpha:  vedi.

Per altri commenti: Modelli differenziali.