Una popolazione di batteri cresce con velocità proporzionale alla popolazione stessa. Se la popolazione raddoppia in un'ora, di quanto è cresciuta rispetto all'istante iniziale dopo due ore? [risolvi il problema sia senza ricorrere alle equazioni differenziali, sia risolvendo una opportuna equazione differenziale]

Sia y(x) la popolazione di batteri misurata assumendo come unità di misura la popolazione iniziale. So che: y(0) = 1, y(1) = 2, y(x+1) = 2*y(x). Quindi y(2) = 2*2, y(3) = 2*2*2, y(n) = 2^n. La risposta al nostro problema è y(2) = 4: la popolazione dopo due ore è il quadruplo della popolazione inziale.

Risolvendo il problema con un'equazione differenziale, scrivo y'(x) = k*y(x), y(0) = 1. Questo problema ha come soluzione y(x) = exp(k*x). Imponendo che y(1) = 2 ho 2 = exp(k), da cui k = log(2), ovvero y(x) = exp(log(2)*x) = 2^x. Quindi y(2) = 4.

Per altri commenti: Modelli differenziali.