So che  x·y'(x) + 2·y(x) = x⁵  e che y(1) = 1.  Aiutandoti con del software, traccia il grafico di y in funzione di x per x in [1,3].

Trasformo l'equazione nella forma y'(x) = (x⁵−2·y(x))/x. Prima uso il software online WolframALpha, poi userò R.

Traccio un campo direzionale per avere un'idea dell'andamento della soluzione, ottenendo l'immagine a sinistra: slope field of dy/dx = (x^5-2*y)/x, -1 < x < 3, -1 < y < 3 Capisco che la soluzione ha grafico con la concavità verso l'alto, con un punto di minimo vicino all'ascissa 1 e a sinistra più inclinato che a destra. Ovviamente dalla figura ho riscontro del fatto che la soluzione in 0 non è definita. A questo punto risolvo l'equazione: dy/dx = (x^5-2*y)/x, y(1) = 1 ottenendo: y(x) = (x^7 + 6)/(7 x^2) Ne traccio il grafico, tra 1 e 3 e in intervallo più ampio:

plot y=(x^7 + 6)/(7 x^2), 1<x<3     plot (x^7 + 6)/(7 x^2), 0<x<3.5, 0<y<70

Usando R (vedi)

Dy = function(x,y) (x^5-2*y)/x
BF=4; HF=3                              # Traccio il campo direzionale
Plane(0,3, -1,40); diredif(0,3, -1,40, 20,20)
soledif(1,1, 3, 1e6, "brown")           # Ho tracciato il grafico della soluzione
POINT(3, soledifv(1,1, 3, 1e6), "blue")
soledif(1,1, -3, 1e5, "seagreen")       # Traccio i prolungamenti del grafico
soledif(3, soledifv(1,1, 3, 1e6), 4, 1e5, "seagreen")
# Calcolo il valore di y(3). Lo approssimo inizialmente con 1e5 passi 
A = soledifv(1,1, 3, 1e5); A
#  34.80913
B = A; A = soledifv(1,1, 3, 2e5); c(A, A-B)
#  3.480933e+01  1.944974e-04
B = A; A = soledifv(1,1, 3, 4e5); c(A, A-B)
#  3.480943e+01  9.724868e-05
B = A; A = soledifv(1,1, 3, 8e5); c(A, A-B)
#  3.480948e+01  4.862434e-05   Ad ogni passo la variazione si dimezza. Quindi aggiungo
A+A-B                         # ad A la variazione precedente in quanto 1/2+1/4+... = 1
#  34.80952

Per altri commenti: Modelli differenziali.