Di fronte al problema differenziale y'(x) = (x+1)/(y(x)−1), y(1)=2, voglio calcolare y(0). Usando il software online WolframAlpha, con le istruzioni seguenti, ottengo l'immagine a destra, in cui ho evidenziato il punto (1,2). Discuti il problema. slope field of dy/dx = (x+1)/(y-1), -3 < x < 1, -1 < y < 3

Osservando il campo direzionale capisco subito che il problema non ha soluzione: il grafico di una funzione che risolva l'equazione differenziale e passi per (1,2) non può raggiungere l'asse verticale; quindi non è calcolabile y(0).  Con WolframAlpha risolvo l'equazione differenziale e trovo dove la curva soluzione (simmetrica rispetto a y=1) passa per y=1, e schizzo il grafico della curva. dy/dx = (x+1)/(y-1), y(1)=2 y(x) = sqrt(x^2 + 2 x - 2) + 1 solve 1 = sqrt(-2 + 2 x + x^2) + 1 x = sqrt(3) - 1 = ≈ 0.73205 Il grafico della funzione che risolve il problema è però solo la parte superiore della curva: per y=1 l'equazione differenziale non è definita.  L'intera curva, facendo proseguire il grafico verso destra, si chiama curva integrale: è la curva che passa per (1,2) la cui derivata, dove è definita, soddisfa l'equazione differenziale.

Posso tracciare l'intera curva, ed anche la sua simmetrica rispetto all'asse y, sempre con WolframAlpha;

plot y = sqrt(x^2+2*x-2)+1,  y = -sqrt(x^2+2*x-2)+1, y=-1, y=3, -3 < x < 1, -1 < y < 3

Studiamo il problema usando R (vedi) con le istruzioni seguenti. Ottengo l'immagine a destra e il valore 0.1663. source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") # se non già caricato BF=3.5; HF=2.2; Plane(-3,1, -1,3); Dy <- function(x,y) (x+1)/(y-1) diredif(-3,1, -1,3, 20,20) POINT(1,2, "brown"); soledifv(1,2, 0, 1e4) # 0.166319

Ecco, sotto, la rappresentazione grafica di come è stato ottenuto 0.166319 e la curva soluzione passante per (1,2).

# Con soledifv ho ottenuto il valore per 1e4 passi
# Vediamo (in verde) la corrispondente rappresentazione grafica
soledif(1,2, 0, 1e4, "seagreen"); POINT(0,soledifv(1,2, 0, 1e4),"blue")
# Con soledifc individuo gli estremi dei primi segmentini della curva
# soluzione che cambiano il segno della pendenza. Li cerco per 1e6 passi.
soledifvc(1,2, 0,1e6)
# 0.732047       0.9997516      0.732046      1.006724
# 0.732046       1.006724       0.732045      1.006467
# 0.732031       0.9968065      0.73203       0.9973489
# 0.732027       1.000401       0.732026      0.9960806
# Il primo cambio segno l'ho tra 0.732047 e 0.732046. Il grafico della soluzione:
soledif(1,2, 0.732, 1e6, "brown")
# La parte della "curva integrale" simmetrica ad esso:
soledif(1,0, 0.732, 1e6, "brown")
# L'estremo sinistro del grafico della soluzione:
Point(0.732,1, "red")