A destra è raffigurato il campo direzionale dell'equazione differenziale y'(x) = √y(x), con il grafico anche di alcune soluzioni.  Trova con WolframAlpha la (o le) soluzioni tali che y(2) = 2.  Hai ottenuto tutte (e solo) le soluzioni?  Argomenta la risposta.

Il campo direzionale e le curve soluzioni sono state tracciate con R (vedi). WolframAlpha con slope field of dy/dx = sqrt(y), -2 < x < 3, 0 < y < 3 traccia il campo direzionale raffigurato sotto a sinistra; con dy/dx = sqrt(y), y(2)=2 fornisce la soluzione g: y(x) = x^2/4+(sqrt(2)-1)*x-2*sqrt(2)+3 (di cui sotto a destra il grafico tracciato con WoframAlpha).  Ma, come si vede, g è una soluzione solo restringendone il dominio a [−1,∞].  Poi, la soluzione dovrebbe essere estesa, definendo g(x) = 0 per x ≤ −1.  Se, infine, cercassimo le soluzioni tali che y(−1) = 0 avremmo infinite soluzioni: andrebbe bene sia g, sia la funzione che vale costantemente 0, sia una funzione come la h, il cui grafico inzia come una parabola dalla forma eguale alla precedente e poi prosegue come l'asse x. Questo esempio mette bene in luce come sia utlissimo tracciare il campo direzionale per studiare le equazioni differenziali del primo ordine.

Per altri commenti: Modelli differenziali.
grafico di g:   plot x^2/4+(sqrt(2)-1)*x-2*sqrt(2)+3, -2 < x < 3, 0 < y < 3