Risolvi le seguenti equazioni rispetto a x: | ||
(1) 2x = 0 | (2) 0x =0 | (3) 3/x = 1 |
(4) (x-3)(x+1) = 0 | (5) 2 = x+a | (6) (x+1)(x+2) = x+1 |
(7) 3x2/x = 0 | (8) x(x+2)=x | (9) x+1+(6/2-3)√x = 0 |
(1) Non servono manipolazioni per risolvere 2x = 0:
2 per un numero fa 0 solo se quel numero è 0, ovvero il numero il cui doppio è 0 è 0;
quindi 2x = 0 è vera solo se x=0.
0 è la soluzione dell'equazione.
Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo: [le frecce
2x = 0 | → | x = 0/2 | → | x = 0 |
applico "/2" ai due membri |
calcolo 0/2 |
(2) Non servono manipolazioni per risolvere 0x = 0:
ogni numero moltiplicato per 0 fa 0;
quindi 0x = 0 è vera qualunque sia il valore di x.
Ogni numero reale è soluzione dell'equazione.
Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo:
0x = 0 | → | 0 = 0 |
calcolo 0·x |
Si ottiene un'equazione vera (indipendentemente dal valore di x).
(3) Non servono manipolazioni per risolvere 3/x = 1:
3 diviso per un numero fa 1 solo se quel numero è 3;
quindi 3/x = 1 è vera solo se x=3.
3 è la soluzione dell'equazione.
Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo:
3/x = 1 | → | 3/x·x = 1·x | → | 3 = x |
applico "·x" ai due membri |
"·x" annulla "/x" 1·x = x |
3=x evidentemente equivale a x=3.
Si noti che, mentre l'equazione finale è definita per ogni x, l'equazione di partenza non era definita per x=0; ciò è accaduto nella trasformazione di 3/x·x in 3; la cosa non crea problemi (li avrebbe creati solo se avessimo trovato x=0 come soluzione: la avremmo dovuta escludere).
(4)
(x-3)(x+1) = 0 | → | x-3 = 0 o x+1 = 0 |
A·B=0 quando A o B è 0 |
x-3 = 0 | → | x = 3 |
applico "+3" |
x+1 = 0 | → | x = -1 |
applico "-1" |
L'equazione è vera se x = 3 o se x = 1: 3 e 1 sono le soluzioni.
(5)
2 = x+a | → | 2a = x | → | x = 2a |
applico "a" ai due membri |
se voglio, "ribalto" l'equazione |
L'ultima manipolazione (lo scambio dei due membri) non era necessaria per concludere che 2a è la soluzione.
(6)
(x+1)(x+2) = x+1 | → | x+2=1 o x+1=0 | → | x = 12 o x = 1 | → | x = 1 |
A·B=A se B=1 o se A=0 |
applico "2" e "1" |
La prima trasformazione poteva essere realizzata anche in modo più pedestre:
(x+1)(x+2) = x+1 | → | (x+1)(x+2)(x+1)=0 | → | (x+1)(x+21)=0 | → | x+2=1 o x+1=0 |
applico "(x+1)" | raccolgo x+1 a fattor comune | A·B=0 quando A o B è 0 |
Sarebbe stato "stupido" (ma non tecnicamente "sbagliato") procedere sviluppando il prodotto (x+1)(x+2).
(7) Non servono manipolazioni per risolvere 3x2/x = 0:
Un numero diviso per qualcosa fa 0 solo se è 0;
quindi 3x2 deve essere 0;
3 per un numero fa 0 solo se quel numero è 0;
quindi x2, e perciò x, dovrebbe essere 0;
ma per questo valore sarebbe indefinito 3x2/x: avrei una divisione per 0;
l'equazione non ha quindi soluzioni.
Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo:
3x2/x = 0 | → | 3x = 0 e x ≠ 0 | → | x = 0 e x ≠ 0 |
x/x equivale a 1 a patto che x≠0 |
applico "/3" |
Ho ottenuto che l'equazione è equivalente a una condizione falsa; quindi è falsa, ovvero senza soluzioni.
Se non mi fossi accorto che dovevo aggiungere la condizione "e x≠0" avrei potuto correggere l'errore controllando alla fine se la soluzione trovata (0) era effettivamente una soluzione dell'equazione di partenza. È bene, in ogni caso, fare questa verifica, per individuare eventuali errori fatti nel corso della manipolazione.
(8) Non servono manipolazioni per risolvere x(x+2) = x:
Un numero moltiplicato per un altro non muta solo se è 0 o se viene moltiplicato per 1;
quindi o x = 0 o x+2 = 1, ossia x = 1;
0 e 1 sono le soluzioni.
Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo:
x(x+2) = x | → | (x≠0 e x(x+2)/x=x/x) o (x=0 e x(x+2)=x) | → | x+2 = 1 o x = 0 |
applico "/x", ma solo se x≠0 |
x/x equivale a 1 se x≠0 per x=0 vale x(x+2)=x |
ottenendo che (12=) 1 e 0 sono le soluzioni.
Ovvero potevo fare:
x(x+2) = x | → | x(x+2)x = 0 | → | x(x+21) = 0 | → | x=0 o x+21=0 |
applico "x" | raccolgo x a fattor comune | A·B=0 quando A o B è 0 |
(9):
x+1+(6/2-3)√x = 0 | → | x+1+0√x = 0 | → | x+1 = 0 e 0 ≤ x |
calcolo 6/2-3 | 0√x equivale a 0 se 0≤x |
Ottengo: x = 1 e 0 ≤ x, che è una condizione falsa: l'equazione non ha soluzioni.
Se non mi fossi accorto che dovevo aggiungere la condizione "e 0≤x" avrei potuto correggere l'errore controllando alla fine se la soluzione trovata (1) era effettivamente una soluzione dell'equazione di partenza.
Posso controllare la risposta con WolframAlpha:
solve x+1+(6/2-3)√x = 0 for x>=0 → "no solutions exist"
Per altri commenti: risoluzione equazioni(1) e risoluzione equazioni(2) neGli Oggetti Matematici.