Risolvi le seguenti equazioni rispetto a x:
(1)  2x = 0(2)  0x =0(3)  3/x = 1
(4)  (x-3)(x+1) = 0(5)  2 = x+a(6)  (x+1)(x+2) = x+1
(7)  3x2/x = 0(8)  x(x+2)=x(9)  x+1+(6/2-3)√x = 0

 1   2   3   4   5   6   7   8   9 

(1)  Non servono manipolazioni per risolvere 2x = 0:
2 per un numero fa 0 solo se quel numero è 0, ovvero il numero il cui doppio è 0 è 0;
quindi 2x = 0 è vera solo se x=0.
0 è la soluzione dell'equazione.
  Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo: [le frecce "→" stanno per "è trasformabile nell'equazione equivalente"]

2x = 0x = 0/2x = 0
applico "/2"
ai due membri
calcolo 0/2

(2)  Non servono manipolazioni per risolvere 0x = 0:
ogni numero moltiplicato per 0 fa 0;
quindi 0x = 0 è vera qualunque sia il valore di x.
Ogni numero reale è soluzione dell'equazione.
  Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo:

0x = 00 = 0
calcolo 0·x

Si ottiene un'equazione vera (indipendentemente dal valore di x).

(3)  Non servono manipolazioni per risolvere 3/x = 1:
3 diviso per un numero fa 1 solo se quel numero è 3;
quindi 3/x = 1 è vera solo se x=3.
3 è la soluzione dell'equazione.
  Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo:

3/x = 13/x·x = 1·x3 = x
applico "·x"
ai due membri
"·x" annulla "/x"
1·x = x

3=x evidentemente equivale a x=3.
Si noti che, mentre l'equazione finale è definita per ogni x, l'equazione di partenza non era definita per x=0; ciò è accaduto nella trasformazione di 3/x·x in 3; la cosa non crea problemi (li avrebbe creati solo se avessimo trovato x=0 come soluzione: la avremmo dovuta escludere).

(4)

(x-3)(x+1) = 0x-3 = 0  o  x+1 = 0
A·B=0 quando A o B è 0

x-3 = 0x = 3
applico "+3"

x+1 = 0x = -1
applico "-1"

L'equazione è vera se x = 3 o se x = –1: 3 e –1 sono le soluzioni.

(5)

2 = x+a2–a = xx = 2–a
applico "–a"  
ai due membri  
  se voglio, "ribalto"
  l'equazione

L'ultima manipolazione (lo scambio dei due membri) non era necessaria per concludere che 2–a è la soluzione.

(6)

(x+1)(x+2) = x+1x+2=1  o  x+1=0x = 1–2  o  x = –1x = –1
A·B=A se B=1
o se A=0
applico "–2"
e "–1"

La prima trasformazione poteva essere realizzata anche in modo più pedestre:

(x+1)(x+2) = x+1(x+1)(x+2)–(x+1)=0(x+1)(x+2–1)=0x+2=1  o  x+1=0
applico "–(x+1)" raccolgo x+1
a fattor comune
A·B=0 quando
A o B è 0

Sarebbe stato "stupido" (ma non tecnicamente "sbagliato") procedere sviluppando il prodotto (x+1)(x+2).

(7)  Non servono manipolazioni per risolvere 3x2/x = 0:
Un numero diviso per qualcosa fa 0 solo se è 0;
quindi 3x2 deve essere 0;
3 per un numero fa 0 solo se quel numero è 0;
quindi x2, e perciò x, dovrebbe essere 0;
ma per questo valore sarebbe indefinito 3x2/x: avrei una divisione per 0;
l'equazione non ha quindi soluzioni.
  Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo:

3x2/x = 03x = 0  e  x ≠ 0x = 0  e  x ≠ 0
x/x equivale a 1
a patto che x≠0
applico "/3"

Ho ottenuto che l'equazione è equivalente a una condizione falsa; quindi è falsa, ovvero senza soluzioni.
Se non mi fossi accorto che dovevo aggiungere la condizione "e x≠0" avrei potuto correggere l'errore controllando alla fine se la soluzione trovata (0) era effettivamente una soluzione dell'equazione di partenza. È bene, in ogni caso, fare questa verifica, per individuare eventuali errori fatti nel corso della manipolazione.

(8)  Non servono manipolazioni per risolvere x(x+2) = x:
Un numero moltiplicato per un altro non muta solo se è 0 o se viene moltiplicato per 1;
quindi o x = 0 o x+2 = 1, ossia x = –1;
0 e –1 sono le soluzioni.
  Per chi avesse provato a risolvere l'equazione con manipolazioni e avesse sbagliato, vediamo come si sarebbe potuto procedere in tal modo:

x(x+2) = x(x≠0 e x(x+2)/x=x/x) o (x=0 e x(x+2)=x)x+2 = 1  o  x = 0
applico "/x",
ma solo se x≠0
• x/x equivale a 1 se x≠0
• per x=0 vale x(x+2)=x

ottenendo che (1–2=) –1 e 0 sono le soluzioni.

Ovvero potevo fare:

x(x+2) = xx(x+2)–x = 0x(x+2–1) = 0x=0  o  x+2–1=0
applico "–x" raccolgo x
a fattor comune
A·B=0 quando
A o B è 0

(9):

x+1+(6/2-3)√x = 0 x+1+0√x = 0 x+1 = 0  e  0 ≤ x
calcolo 6/2-3 0√x equivale a 0 se 0≤x

Ottengo:  x = –1 e 0 x, che è una condizione falsa: l'equazione non ha soluzioni.
Se non mi fossi accorto che dovevo aggiungere la condizione "e 0≤x" avrei potuto correggere l'errore controllando alla fine se la soluzione trovata (–1) era effettivamente una soluzione dell'equazione di partenza.

Posso controllare la risposta con WolframAlpha:
solve x+1+(6/2-3)√x = 0 for x>=0     →     "no solutions exist"

  Per altri commenti: risoluzione equazioni(1) e risoluzione equazioni(2) neGli Oggetti Matematici.