3 aprile del 2005. Giorgio, che ha 36 anni, propone una sfida ai suoi due figli, Mario e Luisa, rispettivamente di 12 e 13 anni: ciascuno di loro deve trovare tra quanti anni il 3 aprile la sua età sarà 2/5 di quella del padre. Discuti la situazione (quali sono le soluzioni del problema, con quali strategie si può risolvere, uno dei due ragazzi è avvantaggiato, …?).

Possiamo procedere in vari modi. Uno potrebbe essere il seguente, illustrato nel caso di Mario.

(1) Le età possibili per cui il rapporto sia 2/5 sono:
figlio24681012141618...
padre51015202530354045...
differenza369121518212427...

Mario ha 24 anni di differenza dal padre. Questa differenza non cambia al passare degli anni. Quindi Mario avrà età pari a 2/5 di quella del padre quando avrà 16 anni contro i 40 del padre. Ossia tra 4 anni.

(2) In alternativa potrei affrontare il problema rappresentandolo con una formula. Devo trovare quanti anni aggiungere all'età di Mario e a quella del padre affinché il rapporto tra la prima sia 2/5 della seconda. Indichiamo con A gli anni da aggiungere. Il problema diventa:

12 + A = 2/5·(36 + A)
60 + 5A = 2·(36 + A)  ← ho applicato "·5" ai due membri
60 + 5A = 72 + 2A  ← ho sviluppato il 2° membro
5A - 2A = 72 - 60  ← ho applicato "-60" e "-3A" ai due membri
3A = 12  ← ho sviluppato i due membri
A = 4  ← ho applicato "/3" ai due membri

Devono dunque passare 4 anni.

E per Luisa? Il metodo (1) fa capire subito che non ci sono soluzioni: Luisa ha 23 anni di differenza dal padre, e le differenze possibili sono tutte multipli di 3. Vediamo che accade col metodo (2):

13 + A = 2/5·(36 + A)
65 + 5A = 2·(36 + A)  ← ho applicato "·5" ai due membri
65 + 5A = 72 + 2A  ← ho sviluppato il 2° membro
5A - 2A = 72 - 65  ← ho applicato "-65" e "-2A" ai due membri
3A = 7  ← ho sviluppato i due membri
A = 7/3  ← ho applicato "/3" ai due membri

Trovo una soluzione non accettabile in quanto il numero di anni deve essere intero, non può essere 7/3 = 2.333…. Il altre parole l'equazione 13 + A = 2/5·(36 + A) rappresenta il nostro problema se si aggiunge la condizione che la variabile A rappresenti un numero intero intero positivo.

In defintiva, Luisa non poteva vincere la sfida in quanto il suo problema non aveva soluzioni.