3 aprile del 2005. Giorgio, che ha 36 anni, propone una sfida ai suoi due figli, Mario e Luisa, rispettivamente di 12 e 13 anni: ciascuno di loro deve trovare tra quanti anni il 3 aprile la sua età sarà 2/5 di quella del padre. Discuti la situazione (quali sono le soluzioni del problema, con quali strategie si può risolvere, uno dei due ragazzi è avvantaggiato, ?).
Possiamo procedere in vari modi. Uno potrebbe essere il seguente, illustrato nel caso di Mario.
(1) Le età possibili per cui il rapporto sia 2/5 sono: | ||||||||||
figlio | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | ... |
padre | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | ... |
differenza | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | ... |
Mario ha 24 anni di differenza dal padre. Questa differenza non cambia al passare degli anni. Quindi Mario avrà età pari a 2/5 di quella del padre quando avrà 16 anni contro i 40 del padre. Ossia tra 4 anni.
(2) In alternativa potrei affrontare il problema rappresentandolo con una formula. Devo trovare quanti anni aggiungere all'età di Mario e a quella del padre affinché il rapporto tra la prima sia 2/5 della seconda. Indichiamo con A gli anni da aggiungere. Il problema diventa:
12 + A = 2/5·(36 + A) | |
60 + 5A = 2·(36 + A) | ← ho applicato "·5" ai due membri |
60 + 5A = 72 + 2A | ← ho sviluppato il 2° membro |
5A - 2A = 72 - 60 | ← ho applicato "-60" e "-3A" ai due membri |
3A = 12 | ← ho sviluppato i due membri |
A = 4 | ← ho applicato "/3" ai due membri |
Devono dunque passare 4 anni.
E per Luisa? Il metodo (1) fa capire subito che non ci sono soluzioni: Luisa ha 23 anni di differenza dal padre, e le differenze possibili sono tutte multipli di 3. Vediamo che accade col metodo (2):
13 + A = 2/5·(36 + A) | |
65 + 5A = 2·(36 + A) | ← ho applicato "·5" ai due membri |
65 + 5A = 72 + 2A | ← ho sviluppato il 2° membro |
5A - 2A = 72 - 65 | ← ho applicato "-65" e "-2A" ai due membri |
3A = 7 | ← ho sviluppato i due membri |
A = 7/3 | ← ho applicato "/3" ai due membri |
Trovo una soluzione non accettabile in quanto il numero di anni deve
essere intero, non può essere 7/3 = 2.333
. Il altre parole l'equazione
In defintiva, Luisa non poteva vincere la sfida in quanto il suo problema non aveva soluzioni.