K K - 1 + 1 1 ————— = ——————— = 1 + ———— K - 1 K - 1 K - 1
| Considera il termine a lato. (1) Prova a semplificarlo e stabilisci quanti sono (0, 1, 2, 3, …, infiniti) i valori di K (numero reale) per cui si tratta di un numero intero. (2) Stabilisci, se possibile, quali sono questi valori. | K² - K ———————— (1 - K)² |
K² - K K·(K - 1) K·(K - 1) K ———————— = ————————— = ————————— = ———— (1 - K)² (1 - K)² (K - 1)² K - 1
Devo, ovviamente, porre K−1 ≠ 0, ossia K ≠ 1; infatti se K−1 valesse 0 avrei una divisione per 0. Il modo più semplice per studiare il problema è quello di rappresentare graficamente la funzione K → K/(K−1). Potrei farlo direttamente, ma per capire intuitivamente come è il grafico mi conviene trasformare il termine:
K K - 1 + 1 1 ————— = ——————— = 1 + ———— K - 1 K - 1 K - 1 |
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È l'iperbole (che descritta usando le variabili x ed y ha equazione) "y = 1/x" spostata a destra di 1 e innalzata di 1. È evidente che ci sono infinite ascisse per cui le ordinate sono numeri interi: 1+1, 1+1/2, 1+1/3, 1+1/4, …, 1−1, 1−1/2, 1−1/3, …. Queste sono anche tutte le risposte al nostro problema. D'altronde posso arrivare a questa conclusione ragionando direttamente sul termine 1+1/(K−1). Questo è intero se 1/(K−1) è intero, ovvero i valori di K sono quelli per cui 1/(K−1) = N con N intero, ossia K−1 = 1/N: i valori di K sono i numeri 1+1/N al variare di N tra i numeri interi diversi da 0.
Per altri commenti: 
formule
e funzione (1) neGli Oggetti Matematici.