Stabilisci quante sono le soluzioni (rispetto all'unica variabile, x) delle seguenti equazioni, e risolvi l'equazioni.
(2x–1)2+(2x+1)2 = 0 (2x–1)2+(1–2x)2 = 0 (2x–1)3+(2x+1)3 = 0
(2x–1)3+(1–2x)3 = 0
(2x–1)2+(2x+1)2 è la somma di due numeri maggiori o uguali a 0. È 0 solo se entrambi sono 0. Quindi la 1ª eq. equivale a:
2x–1=0 AND 2x+1=0, ossia a 2x=1 AND 2x=–1, che è falsa qualunque sia x.
La 1ª eq. ha 0 soluzioni.
Per la 2ª eq. potremmo procedere come sopra e arrivare a concludere che equivale a 2x=1 AND 1=2x, che equivale a 2x=1 AND 2x=1, che equivale a 2x=1, ossia a x=1/2.
Possiamo anche procedere così: dato che 2x–1 = –(1–2x), (2x–1)2 = (1–2x)2 e quindi l'equazione equivale a
Concludendo: 1 soluzione, pari a 1/2.
La 3ª eq. equivale a (2x–1)3 = –(2x+1)3; (–A)3 = –A3, per cui ci si riduce a:
(2x–1)3 = (–2x–1)3; i cui di due numeri sono uguali solo se lo sono i due numeri, quindi ci si riduce a.
2x–1 = –2x–1, ossia a 4x = 0:
c'è 1 soluzione, pari a 0.
Si poteva ragionare anche graficamente:
i termini della somma (2x–1)3+(2x+1)3 sono pari a F(x+1) e a F(x–1) con F(x)=(2x)3, e corrispondono ai grafici sotto raffigurati:
la loro somma è 0 per gli x in cui i due grafici sono simmetrici rispetto all'asse x (le ordinate devono avere segno opposto), e questo accade solo per x=0.
La 4ª eq. equivale a (2x–1)3 = –(1–2x)3, ovvero a:
(2x–1)3 = (2x–1)3, che è sempre vera:
l'equazione ha infinite soluzioni: tutti i numeri reali.
Nota. Eravamo di fronte ad equazioni polinomiali nessuna delle quali aveva soluzioni in quantità pari al suo grado.
Per altre osservazioni: 
risoluzione equazioni (2) (e
funzioni polinomiali)
neGli Oggetti Matematici.