Scrivi l'equazione (2^u)^3 = 2^(u^3) nell'usuale scrittura a più piani e trova quante soluzioni ha (risolta rispetto a u).

(2 ^u ) ³ = 2 ^{(u3 )}
Trasformo il primo termine: (2 ^u ) ³ → 2^u·2^u·2^u → 2^3u.
Mi riconduco quindi a 2^3u = 2 ^(u³), ossia (essendo x → 2^x crescente) a 3u = u³, ossia a 3u − u³ = 0, ossia a u(3 − u²) = 0, che equivale a u = 0 OR 3 = u².
Le soluzioni sono dunque tre:  0, √3, −√3.

Ecco, sotto, nelle prime 3 immagini, il controllo (o il suggerimento) grafico, tracciando il grafico di x → 5^(x^2)−(5^x)^2 e trovando dove taglia l'asse orizzontale. Nella seconda si capisce che una soluzione è circa 1.7. Nel terzo si capisce che un'altra è circa -1.7.
Nella 4ª figura è tracciato il grafico del segno della precedente funzione, in cui si evidenzia meglio, con una scala semplice (y tra -3 e 3) dove essa è positiva (segno = 1) e dove egrave; negativa (segno = -1).

     

Grafici realizzati con questi 2 script:  uno e due.

Per le proprietà delle potenze: potenze (2) neGli Oggetti Matematici.

Come trovare le soluzioni con WolframAlpha? Ecco:

solve (2^u)^3 = 2^(u^3) for u real

Volendo posso impiegare R.

# Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")       # si puo' non metterlo se gia' caricato
BF=3; HF=3
f1 = function(x) (2^x)^3; f2 = function(x) 2^(x^3)
graphF(f1,-5,5, "brown"); graph(f2,-5,5, "seagreen")
#
g = function(x) f1(x)-f2(x)
graphF(g,-5,5, "brown")
graphF(g,-5,2, "brown")
graphF(g,-3,-1.5, "brown")
x1 = solution(g,0, 1,2); x1; x1^2
#       1.732051       3
x2 = solution(g,0, -1,1); x2; fraction(x2)
#    4.570593e-17   0     ma era evidente che 0 fosse una soluzione
x3 = solution(g,0, -5,-1); x3; x3^2
#      -1.732051       3