1/(1+10001000) + 1/(1+1000−2000) è maggiore, minore o uguale ad 1? Spiegate la vostra risposta.
Per esplorare il problema proviamo ad usare un mezzo di calcolo (qui i calcoli sono svolti con R):
x = 1/(1+1000^1000)+1/(1+1000^-2000); x
# 1
x-1
# 0
Per il mezzo di calcolo il numero sarebbe eguale ad 1, ma, a prima vista, la cosa sembra poco probabile.
Se proviamo ad usare un programma più sofisticato, ad esempio WolframAlpha, otteniamo:
1/(1+1000^1000)+1/(1+1000^-2000) - 1
1.00000000000000000000000000000000000000000... · 10^-3000
Quindi sembrerebbe che 1/(1+10001000) + 1/(1+1000−2000) sia maggiore di 1,
anche se di pocchissimo (poco più di 10−300). Proviamo a osservare e a manipolare il termine.
Possiamo studiare prima 1/(1+10001000) + 1/(1+1000−1000) che si intuisce essere più facile da maneggiare.
1000−1000 = 1/10001000.
Diventa più agevole operare con esso se poniamo 10001000 = K.
1/(1+K) + 1/(1+1/K) =
1/(1+K) + K/(K+1) =
(1+K)/(1+K) = 1
Dunque 1/(1+10001000) + 1/(1+1000−1000) = 1, e, dunque, dato che
Possiamo riscontrare i problemi anche con questa calcolatrice online: