L'equazione w2 – w2 = w2 – w2 è vera qualunque valore si attribuisca a w. Esamina le sue seguenti successive trasformazioni:

w2 – w2 = w2 – w2
w(w – w) = (w + w)(w – w)
w = w +w

da cui sembrerebbe potersi dedurre che, per ogni w, w = w +w.

Discuti la conclusione e analizza criticamente il procedimento attraverso cui si è arrivati ad essa.

La conclusione è ovviamente errata: il doppio di un numero è uguale al numero stesso solo se questo è zero. Vediamo in dettaglio i vari passaggi e le trasformazioni che sono state operate:

– per trasformare   w2 – w2 = w2 – w2   in   w(w – w) = (w + w)(w – w)
ho operato le riscritture:  a2 a·a;  a·b–a·c a(b–c);  a2–b2 (a+b)(a–b)
– per trasformare   w(w – w) = (w + w)(w – w)   in   w = w +w
ho operato la riscrittura:   a·c = b·c a = b

Ma l'ultima riscrittura conserva la verità dell'equazione solo se c 0.

Per realizzare la trasformazione:
– di   w(w – w) = (w + w)(w – w)   in   w = w +w
avrei potuto anche operare le riscritture:   a·c = b·c a·c/c = b·c/c;  c/c 1;  1 1;  1 1 (che a volte vengono sintetizzate dicendo che ho semplificato i due membri dell'equazione per w–w).

Ma la riscrittura c/c 1 (quella con cui implicitamente ho trasformato (w–w)/(w–w) in 1) trasforma il termine in uno che ha dominio più ampio: il termine iniziale è definito solo per c 0  (in questo caso dividendo per w–w avevo ottenuto un'equazione indefinita in quanto contenente una divisione per 0, semplificando (w–w)/(w–w) in 1 ho trascurato questo fatto).

  Per altri commenti: risoluzione di equazioni (2) neGli Oggetti Matematici.