L'equazione w2 w2 = w2 w2 è vera qualunque valore si attribuisca a w. Esamina le sue seguenti successive trasformazioni:
w2 w2 = w2 w2
w(w w) = (w + w)(w w)
w = w +w
da cui sembrerebbe potersi dedurre che, per ogni w, w = w +w.
Discuti la conclusione e analizza criticamente il procedimento attraverso cui si è arrivati ad essa.
La conclusione è ovviamente errata: il doppio di un numero è uguale al numero stesso solo se questo è zero. Vediamo in dettaglio i vari passaggi e le trasformazioni che sono state operate:
per trasformare w2 w2 = w2 w2 in w(w w) = (w + w)(w w)
ho operato le riscritture: a2 → a·a;
a·ba·c → a(bc);
a2b2 → (a+b)(ab)
per trasformare w(w w) = (w + w)(w w) in w = w +w
ho operato la riscrittura: a·c = b·c → a = b
Ma l'ultima riscrittura conserva la verità dell'equazione solo se c 0.
Per realizzare la trasformazione:
di w(w w) = (w + w)(w w) in w = w +w
avrei potuto anche operare le riscritture: a·c = b·c → a·c/c = b·c/c; c/c → 1; a·1 → 1; b·1 → 1 (che a volte vengono sintetizzate dicendo che ho semplificato i due membri dell'equazione per ww).
Ma la riscrittura c/c → 1 (quella con cui implicitamente ho trasformato (ww)/(ww) in 1) trasforma il termine in uno che ha dominio più ampio: il termine iniziale è definito solo per c 0 (in questo caso dividendo per ww avevo ottenuto un'equazione indefinita in quanto contenente una divisione per 0, semplificando (ww)/(ww) in 1 ho trascurato questo fatto).
Per altri commenti: risoluzione di equazioni (2) neGli Oggetti Matematici.