Quante soluzioni positive ha la seguente equazione risolta rispetto ad x?
x2 + k2x = 1
(A) dipende dal valore di k
(B) 0
(C) 1
(D) 2
(E) 4

Per x positivo la funzione F: x → x2 è crescente.
G: x → k2x è la funzione costante x → 0 se k=0, se non è del tipo x → hx con h positivo, che è crescente.
Quindi F+G: x → x2 + k2x è crescente per x positivo, e assume sicuramente anche valori maggiori di 1 (ad es. a 2 associa 4+…).
Quindi il suo grafico intercetta la retta y=1 in un solo punto.
La risposta OK è (C).
 
   Si può ragionare anche come illustrato a sinistra:  di intersezioni tra il ramo destro della parabola raffigurata e una retta passante per (0,1) ce n'è 1. In questo modo si capisce anche che la risposta sarebbe stata la stessa se al posto di k2 vi fosse stato k.
    Oppure si può ragionare come illustrato a destra:  al variare del coefficiente di grado 1 il grafico della funzione polinomiale x → x2+k2x-1 è comunque una parabola (sempre eguale) passante per (0,-1), in quanto in 0 la funzione vale -1; e tutte queste parabole intersecano la parte positiva dell'asse x in esattamente 1 punto.
 

Altro tra i possibili procedimenti (che però richiedono calcoli, a differenza dei precedenti che possono essere sviluppati a mente):
x2 + k2x = (x + 1/2 k2)2 + … (ho usato (a+b)2 = …).
Quindi y = x2 + k2x è una parabola con concavità verso l'alto e vertice con ascissa negativa (– 1/2 k2).
Il ramo della parabola a destra del vertice taglia l'asse x (passa infatti per (0,0)) e quindi sicuramente taglia anche (in un solo punto, essendo un ramo) la retta y=1.
Più brutalmente potrei usare la formula risolutiva delle eq. di 2° grado (ma mi complicherei la vita):
x2 + k2x - 1 = 0
-k2/2 ± √(k4+4)/2
-k2/2 - √(k4+4)/2 è negativa
-k2/2 + √(k4+4)/2 è positiva in quanto √(k4+4) > k2
Posso controllare la soluzione con WolframAlpha battendo solve x^2+k^2*x=1 for x > 0.

Per altri commenti: funzione(2) e funzioni polinomiali neGli Oggetti Matematici.

Di fronte a questo quesito in un test somministrato (nel 2004) a una settantina studenti di 2ª superiore, il 18% ha risposto correttamente (per lo più, per quel che si deduce dalle tracce presenti sui questionari, procedendo algebricamente). I più (il 50%) risponde A (dipendenza da k). Il 10% sceglie D (2 soluzioni). Solo il 12% preferisce non rispondere.
Grafici (di y = x²+K*x e y = 1) realizzati con questo script.