Quante soluzioni reali ha la seguente equazione risolta rispetto ad x?
√x + k²x = k²

(A) dipende dal valore di k
(B) 0 (C) 1
(D) 2
(E) 3

L'equazione è definita per x ≥0. La funzione F: x

√x è crescente.
G: x

k²x è la funzione costante x

0 se k=0, se no è del tipo x

hx con h positivo, che è crescente.
Quindi F+G: x

√x + k²x è crescente, e assume sicuramente anche valori maggiori di k² (ad es. a 1 associa 1+k²).
Quindi il suo grafico intercetta la retta y=k² in un solo punto.
[a destra è illustrato il caso k=1]
La risposta OK è (C).

x + k²x = k²

	x = -k²(x-1)
	Si può ragionare anche come illustrato a sinistra: il grafico di x √x e quello di x -k²(x-1) - che è una retta con pendenza negativa passante per (1,0) - si incontrano esattamente in un unico punto.

Questi procedimenti possono essere sviluppati facilmente a mente. Masochisticamente, si sarebbe potuto anche procedere algebricamente:

x + k²x = k²

x = k² - k²x
x = k⁴(x²-2x+1) AND x>0
k⁴x² - (2k⁴x+1)x + k⁴ = 0 AND x>0
…
ma la strada sarebbe stata lunga e non facile.
Possiamo vedere che cosa si sarebbe ottenuto con WolframAlpha battendo: solve sqrt(x)+k^2*x=k^2 for x real

Di fronte a questo quesito in un test somministrato (nel 2004) a una quarantina di studenti di 5ª superiore, il 30% ha risposto correttamente, altrettanti hanno scelto A (dipendenza da k). Il 20% ha scelto B (0 soluzioni) e il 10% D (2 soluzioni). solve sqrt(x)+k^2*x=k^2 for x real