Studia, usando del software, graficamente e numericamente, e "a mano", il segno del seguente termine.

x² + x + |x| − 1

Se provo a tracciare il grafico di y = x² + x + |x| − 1 ottengo la rappresentazione sotto a sinistra. Capisco immediatamente che si tratta dell'unione di due archi di parabola, come si vede nel grafico a destra.

Se distinguo i casi in cui l'argomento del valore assoluto è positivo o negativo ottengo le due parabole:
y = x² + x + x − 1 = x² + 2·x − 1  e  y = x² + x − x − 1 = x² − 1.

Posso effettuare anche uno zoom (figura a destra). Intuisco che i due punti in cui viene tagliato l'asse x sono circa -1 e circa 0.4.

  

Quindi il termine è positivo per x ≤ A e x ≥ B dove A e B sono le ascisse del punto sinistro in cui la prima parabola taglia l'asse x e del punto destro in cui lo taglia la seconda. Posso trovare facilmente questi punti risolvendo a mano due semplici equazioni. Vediamo come potremmo farlo con del software:

Quindi termine è positivo quando x < -1  o  x > 0.414213… = √2-1.

I grafici sono stati tracciati usando questo script. Le equazioni sono state risolte usando questo script.

Posso controllare rapidamente la risposta con WolframAlpha:


Come avrei potuto utilizzare R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) x^2+x+abs(x)-1
# traccio il grafico della funzione che ad x associa il termine; cerco l'intervallo opportuno
graficoF (f, -10,10, "black")
graficoF (f, -2, 2,  "black")            # ho ottenuto i primi due grafici soprastanti
# Capisco che il segno è negativo tra, circa, -1 e 1/2. Posso fare degli zoom.
# L'estremo sinistro è circa -1 e quello destro circa 0.42. Li trovo risovendo f(x)=0 soluz(f,0, -2,0) # [1] -1 soluz(f,0, 0,1) # [1] 0.4142136 # intuisco che questo valore è √2-1. Verifica: sqrt(2)-1 # [1] 0.4142136 # A mano potevo procedere facilmente, tenendo conto (vedi grafico in alto a destra) che: h = function(x) x^2+2*x-1; k = function(x) x^2-1 graficoF (f, -2, 2, "black") grafico (h, -2,1, "red"); grafico (k, -2,1, "blue") # L'estremo sinistro è la soluzione sinistra di x^2-1=0, ossia -1 # L'estremo destro è la soluzione destra di x^2+2*x-1=0, ossia √2-1