Risolvi, usando del software, graficamente e numericamente, la seguente equazione. Prova, quindi, a risolverla "esattamente".

x² − 2·|x| − 3 = 0

Se provo a tracciare il grafico di y = x² − 2·|x| − 3 ottengo la rappresentazione sotto a sinistra. Capisco che il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. La cosa è confermata dal fatto che se sostituisco x con -x ottengo un termine equivalente. Capisco anche, immediatamente, che si tratta dell'unione di due archi di parabola, come si vede nel grafico a destra.

Se distinguo i casi in cui l'argomento del valore assoluto è positivo o negativo ottengo le due parabole: y = x² − 2·x − 3  e  y = x² + 2·x − 3 . Posso effettuare anche uno zoom (figura a destra). Intuisco che i due punti in cui viene tagliato l'asse x sono circa -3 e3. È facile verificare che queste sono esattamente le soluzioni:  3² − 2·3 − 3 = 0.

I grafici sono stati tracciati usando questo script.

Come avrei potuto utilizzare R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") f = function(x) x^2-2*abs(x)-3 # in graficoF 1 sta per "black", 2 sta per "red" graficoF( f, -10,10, 1) # ottengo il 1° grafico graficoF( f, -4,4, 1) # ottengo il 2° grafico soluz(f,0, -4,-2) # [1] -3 soluz(f,0, 2,4) # [1] 3 # Posso verificare facilmente che queste sono le soluzioni # esatte: sostituendo 3 e -3 ad x ottengo "a mano" 0 # Posso fare anche il grafico anche di: g = function(x) x^2-2*x-3 grafico( g, -4,4, 2)

f  ha grafico simmetrico rispetto all'asse y (x compare solo come x^2 e come |x|).  g(x) per x positivo coincide con f(x).  Posso risolvere l'equazione polinomiale di 2° grado g(x)=0 usando la "formula risolutiva" e ritrovare la soluzione 3, e dedurre che l'altra soluzione di f(x)=0 è il valore opposto, −3.