Risolvi, usando del software, graficamente e numericamente, la seguente equazione. Trova la/le soluzioni con almeno 10 cifre.

|x² − x − 3| = (x + 1)³

Se provo a tracciare il grafico di y = |x² − x − 3| − (x + 1)³ ottengo le rappresentazioni seguenti.

Se distinguo i casi in cui l'argomento del valore assoluto è positivo o negativo ottengo le due curve (cubiche) rappresentate sotto a sinistra:
y = x² − x − 3 − (x+1)³ (rossa)  e  y = - x² + x + 3 − (x+1)³ (arancione).
Con uno zoom verifico se la curva tocca l'asse x a sinistra dell'origine (grafico a destra): vedo che ciò non accade.

Quindi c'è un'unica soluzione, pari a circa 0.5, intersezione dell'asse x con y = - x² + x + 3 − (x+1)³ = -x²+x+3-(x³+3·x²+3·x+1) = -x³-4·x²-2·x+2

I grafici sono stati tracciati usando questo script.

Per risolvere l'equazione, conoscendo l'intervallo in cui cade la soluzione, posso utilizzare il metodo di bisezione o un metodo simile. Posso fare tutto automaticamente con lo script solve polinomial equations:


...
a = 0.4811943040920156   b = 0.48119430409201563

La soluzione, arrotondata è 0.4811943040920156 (16 cifre).

Posso controllare la soluzione con WolframAlpha:

abs(x^2-x-3) - (x+1)^3 = 0
x = 0.481194304092015622633537...

Come avrei potuto utilizzare R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) abs(x^2-x-3)-(x+1)^3
# il colore "black" lo indico col numero 1
graficoF(f, -10,10, 1)              # zoommo:
graficoF(f, -3,1, 1)
# Tra 0 ed 1 c'è sicuramente una soluzione
x=soluz(f,0, 0,1); x                # [1] 0.4811943
# Traccio il punto sul grafico:
PUNTO(x,f(x), "magenta")
# zoommo ulteriormente per capire che cosa accade vicino a -1.3:
graficoF(f, -1.5,-1, 1)
# il terzo grafico assicura che non c'è un altro zero; comunque trovo
# quanto vale f in questo punto di minimo relativo (e lo traccio):
x = maxmin(f,-2,-1); x              # [1] -1.302776
y = f(x); y; PUNTO(x,y, "red")      # [1] 0.02775641
# Perché il grafico ha quella forma?  Ecco cosa ottengo
          
# facendo il grafico delle funzioni ottenute "togliendo" il valore assoluto.
g = function(x) (x^2-x-3)-(x+1)^3; h = function(x) -(x^2-x-3)-(x+1)^3
graficoF(f, -3,1, 1); grafico(g, -3,1, "red"); grafico(h, -3,1, "green")
# A questo punto posso trovare la soluzione in modo "esatto":
# -(x^2-x-3)-(x+1)^3 = -( -2 + 2x + 4x^2 + x^3)
# Risolvo l'equazione polinomiale.
P = c(-2, 2, 4, 1); solpol(P)
# [1] 0.48119430409202
# [1] -1.311107817466
# [1] -3.170086486626