Dato un numero intero positivo N, qual è il massimo comune divisore tra N+1 ed N. Qual è il massimo comune divisore (o quali sono i massimi comuni divisori) tra i polinomi in x  x+1 e x.

1 e 2, 2 e 3, 3 e 4, … hanno 1 come unico divisore comune.  In generale, indicato con k un divisore comune ad N e N+1, se  N = k*A  e  N+1 = k*B,  ho  k*B = k*A+1, e quindi  k*(B-A) = 1.  L'unica possibilità è che k = 1.
    Quindi, dato un qualunque intero positivo N, 1 è l'unico, e quindi il massimo, comune divisiore tra N e N+1.
    Il polinomi (in x) x ed x+1 hanno come divisori comuni 1 e tutti i numeri interi (non solo 1!).

  Per altri commenti: fuzioni polinomiali neGli Oggetti Matematici.

  Per congetturare la risposta potrei utilizzare questa calcolatrice (cliccando [DiMu], che fornisce massimo comune divisore, e minimo comune multiplo):

[3,4]   gcd = Mcd = 1
     ...
[8,9]   gcd = Mcd = 1
     ...

Con R posso procedere così (ogni frazione (n+1)/n non è riducibile, quindi ogni coppia di numeri n+1 ed n ha come m.c.d. 1):

n <- 1:200; fractions( (n+1)/n )
  [1]       2     3/2     4/3     5/4     6/5     7/6     8/7     9/8
  [9]    10/9   11/10   12/11   13/12   14/13   15/14   16/15   17/16
 [17]   18/17   19/18   20/19   21/20   22/21   23/22   24/23   25/24
 [25]   26/25   27/26   28/27   29/28   30/29   31/30   32/31   33/32
 ...
[177] 178/177 179/178 180/179 181/180 182/181 183/182 184/183 185/184
[185] 186/185 187/186 188/187 189/188 190/189 191/190 192/191 193/192
[193] 194/193 195/194 196/195 197/196 198/197 199/198 200/199 201/200