Dato un numero intero positivo N, qual è il massimo comune divisore tra N+1 ed N. Qual è il massimo comune divisore (o quali sono i massimi comuni divisori) tra i polinomi in x x+1 e x.
1 e 2, 2 e 3, 3 e 4,
hanno 1 come unico divisore comune. In generale,
indicato con k un divisore comune ad N e N+1, se N = k*A e N+1 = k*B,
ho k*B = k*A+1, e quindi k*(B-A) = 1. L'unica possibilità è che k = 1.
Quindi, dato un qualunque intero positivo N, 1 è l'unico, e quindi il massimo, comune divisiore
tra N e N+1.
Il polinomi (in x) x ed x+1 hanno come divisori comuni 1 e tutti i numeri interi
(non solo 1!).
Per altri commenti: fuzioni polinomiali neGli Oggetti Matematici.
Per congetturare la risposta potrei utilizzare questa calcolatrice (cliccando [DiMu], che fornisce massimo comune divisore, e minimo comune multiplo):
[3,4] gcd = Mcd = 1 ... [8,9] gcd = Mcd = 1 ...
Con R posso procedere così (ogni frazione (n+1)/n non è riducibile, quindi ogni coppia di numeri n+1 ed n ha come m.c.d. 1):
n <- 1:200; fractions( (n+1)/n ) [1] 2 3/2 4/3 5/4 6/5 7/6 8/7 9/8 [9] 10/9 11/10 12/11 13/12 14/13 15/14 16/15 17/16 [17] 18/17 19/18 20/19 21/20 22/21 23/22 24/23 25/24 [25] 26/25 27/26 28/27 29/28 30/29 31/30 32/31 33/32 ... [177] 178/177 179/178 180/179 181/180 182/181 183/182 184/183 185/184 [185] 186/185 187/186 188/187 189/188 190/189 191/190 192/191 193/192 [193] 194/193 195/194 196/195 197/196 198/197 199/198 200/199 201/200