Le soluzioni dell'equazione 1+3x−2x² = 0 sono:

(A)   3 ± √17     (B)   –3 ± √17     (C)   3 ± √17     (D)   –3 ± √17 ——— ———— ——— ———— 2 4 4 2

Posso procedere in molti modi.
• Il più semplice consiste nell'osservare che soluzioni proposte sono coppie di numeri simmetrici rispetto a 3/2, -3/4, 3/4, -3/2. Non serve risolvere l'equazione, ma capire qual è l'ascissa del vertice della parabola che ne è il grafico. Se conosco il concetto di derivata, basta cercare quando D_x(1+3x−2x²) si azzera, ossia quando 3 = 4x: ciò accade per x=3/4, quindi le soluzioni sono x = 3/4 ± …, ossia la risposta corretta è C. Il ragionamento è eseguibile tutto mentalmente, in pochi secondi.
 
• In alternativa, se ricordo che il vertice della parabola y = ax²+bx+c ha ascissa -b/(2a), posso osservare che nel nostro caso -b/(2a) = 3/4 e dedurre che le le soluzioni devono essere x = 3/4 ± …, ossia che la risposta corretta è C.
• Se non mi ricordo quanto sopra, è facile trovare il vertice cercando il vettore (h,k) che trasla  y = 2x²  in  y = 2x² − 3x − 1 (vedi):
y = 2(x−h)²+k  →  y = 2x² − 4hx + h²+k
da  −3x = −4hx  ricavo  h = 3/4:  questo è il passo orizzontale della traslazione, ossia la ascissa del vertice della parabola.
• Se sono un amante dei calcoli, posso procedere risolvendo l'equazione, con il rischio di fare qualche errore (facendo le operazioni, cambiando i segni, …). Posso usare il "completamento del quadrato" (metodo equivalente al precedente, ma forse meno semplice):
2x² − 3x − 1 = 0
x² − 3/2 x − 1/2 = 0
(x − 3/4)² − 9/16 − 1/2 = 0
x − 3/4 = ± √(17/16)
x = 3/4 ± √17/4
• oppure usare la "formula risolutiva" (che, allenati, è facile da ricordare):
x = -b/(2a) ± √(b²-4ac)/(2a) = 3/4 ± √17/4

Per l'uso delle derivate per trovare i vertici della parabole, clicca qui. Per la risoluzione delle equazioni polinomiali di 2° (formula o completamento del quadrato) qui.

Per altri commenti: funzioni polinomiali neGli Oggetti Matematici.