Trova, rapidamente, quante radici reali ha, rispetto all'incognita x, l’equazione x⁴ – x³ + 3x² – 10x = 0.

A)  nessuna    B)  una    C)  due    D)  tre    E)  quattro

x⁴ – x³ + 3x² – 10x = (x³ – x² + 3x – 10)x
Una radice è 0 (escludo quindi la risposta A).  Vediamo quante sono quelle di x³ – x² + 3x – 10 = 0. Indichiamo con g(x) questo polinomio di grado 3 (essendo di grado 3 sicuramente ha almeno una soluzione, quindi le soluzioni dell'equazione inziale sono almeno 2: escludo la risposta B).  Possiamo procedere in vari modi.

1) Se conosco il concetto di derivata posso fare g'(x) = 3x² – 2x + 3 che è sempre positivo (il discriminante è 2²−4·3·3 = −32, ossia negativo, per cui g'(x) è sempre positivo o sempre negativo; g'(0) = 3; quindi g'(x) è sempre positivo). Concludo che g è una funzione monotona (anzi, crescente). Per x → ∞ g(x) → ∞, per x → −∞ g(x) → −∞. Quindi g(x) vale 0 solo per un unico valore di x. Volendo è facile trovarlo: g(0) = −10, g(1) = −7, g(2) = 0. Le due soluzioni sono, dunque, 0 e 2.

2) Altra possibilità. Mi limito ad osservare che g(0) = −10 e che per x → ∞ g(x) → ∞, per x → −∞ g(x) → −∞. Tabulo rapidamente la funzione per alcuni valori e concludo (senza computer) che l'andamento è quello a lato e concludo che g si annulla solo in un punto e che quindi le soluzioni dell'equazione di partenza sono due, questa e 0. 3) Col computer posso facilmente schizzare il grafico di g arrivare, in un attimo, alle stesse conclusioni. 4) Col computer posso facilmente trovare anche le soluzioni esatte. Vediamo come.

Usiamo questo script per studiare x³ – x² + 3x – 10 = 0:

k = 1   p = -1   q = 3   u = -10

Impiegando [test] più volte:
a=-10 ... b=10
-1140 -610 -280 -102 -28 -10 0 50 188 462 920
capisco che 2 (dove la funzione vale 0) è una soluzione
a=-5 ... b=5
-175 -102 -55 -28 -15 -10 -7 0 17 50 105
confermo l'idea; vediamo se ci sono altre soluzioni
-10 -8.625 -7 -4.375 0 6.875 17 31.125 50 74.375 105
a=0 ... b=5
-10 -8.625 -7 -4.375 0 6.875 17 31.125 50 74.375 105
Per una conferma defintiva provo a risolere l'equazione:
a=-5 b=5   [...]
a=1.9999999999999998 b=2
OK!

Con R (vedi qui) posso usare il comando "solpol":

solpol(c(0,-10,3,-1,1))
#  0  2