Risolvi (utilizzando eventualmente del software) le equazioni:
sin(x) = x² + x − 1/2
sin(x) = x² + x
sin(x) = x² + x + 1/2
(il grafico a lato dovrebbe aiutarti)
| Risolvi (utilizzando eventualmente del software) le equazioni: sin(x) = x² + x − 1/2 sin(x) = x² + x sin(x) = x² + x + 1/2 (il grafico a lato dovrebbe aiutarti) |
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Nella figura sono tracciati il grafico di x → sin(x) (blu),
di
Vediamo come procedere con uno script (per risolvere, per più valori di k,
equazioni
Come F è stata introdotta x → sin(x)-(x*x+x).
Parto dal grafico verde (k = -0.5) che taglia la sinusoide tra x = -1 e x = 0 k = -0.5 a = -1 b = 0 a=-0.7547466542351537 b=-0.7547466542351536 Nel caso arancione (k = 0.5) non ho evidentemente soluzioni. Nel caso rosso (k = 0) sembra che i due grafici si tocchino in un punto. Con [test] vedo che cosa accade tra -1 e 1 k = 0 a = -1 b = 1 [test] -0.84147098481 -0.5573560909 -0.3246424734 -0.14941834231 -0.0386693308 0 -0.0413306692 -0.17058165769 -0.3953575266 -0.7226439091 -1.15852901519 Nel valore a metà tra -1 ed 1 (0) F vale 0: ivi la sinusoide è tangente alla parabola.
Del resto è evidente che per x = 0 sin(x) = x²+x
Il grafico è stato tracciato con questo script.
Vediamo come si potrebbe procedere con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) sin(x)
g = function(x) x^2+x+1/2; h = function(x) x^2+x; k = function(x) x^2+x-1/2
# Faccio i grafici che rappresentano il problema.
Plane(-4,2,-1,3); graph(f, -4,2, "black")
graph(g, -4,2, "blue"); graph(h, -4,2, "brown"); graph(k, -4,2, "magenta")
# La prima equazione non ha soluzioni, in quanto "vedo" che la parabola
# blu non interseca il grafico di sin
# La terza equazione ha due soluzioni, che posso determinare col software
# (uso "solution2" che trova le intersezioni tra due grafici in un intervallo)
solution2(f,k, -1,0)
# -0.7547467 se voglio più cifre
more(solution2(f,k, -1,0))
# -0.754746654235154
more(solution2(f,k, 1,0))
# 0.671338945068021
# Per la seconda equazione non è facile capire quante sono le soluzioni
# (una, due o nessuna?). Ma posso osservare facilmente che 0 è una soluzione:
# f(0) è 0 e h(0) è zero.
# Per concludere con sicurezza calcol0 la derivata di f ed h in 0. E' facile
# farlo a mano, trovare che è 1, dedurre che la retta è tangente alla parabola
# in 0, e quindi che la soluzione è 1. Comunque lo faccio anche col software:
deriv(h,"x"); deriv(f,"x")
# 2*x + 1 cos(x)
2*0+1; cos(0)
# 1 1 OK!
