In un manuale di algebra l'equazione 3x·8x/(x+2) = 6, riscrivendo 8 come 23, viene risolta così:
3x·8x/(x+2) = 6
3x·23x/(x+2) = 3·2 x=1 & 3x/(x+2) = 1
x=1 & 3/3 = 1
che ha come unica soluzione 1; questa viene detto essere anche l'unica soluzione della equazione di partenza.
Ti sembra corretta questa conclusione? Per rispondere prova a risolvere l'equazione
graficamente e numericamente.
Prima cerchiamo di risolvere l'equazione graficamente (pensando al concetto di funzione, senza buttarci a testa bassa nei calcoli,
come fanno, malamente, gli autori del manuale).
Osserviamo che la funzione x → 3x·8x/(x+2) ha come dominio l'unione di (-∞,-2)
e di (-2,∞), in quanto per x=−2 x+2=0. Studiamola nei due intervalli. Tracciamone il grafico, ad esempio
impiegando questo sript.
Ho immediatamente che le soluzioni sono due, una è probabilmente 1 (cosa che posso verificare immediatamente), l'altra è circa −3.3.
Qual è stato l'errore del libro (oltre a quello di non porsi il problema di "pensare" al significato delle funzioni
che intervengono)?
È vero che x=1 & 3x/(x+2) = 1 implica 3x·23x/(x+2) = 3·2, ma non
il viceversa!
3^A*2^B può essere eguale a 3*2 senza che A=B=1.
Potrei con degli zoom migliorare la precisione rispetto a -3.3. Potrei, ad esempio, arrivare a -3.26186.
Per avere la soluzione in forma simbolica posso ricorrere a WolframAlpha.
Basta introdurre:
Anche
usando R posso facilmente risolvere l'equazione:
h = function(x) 3^x*8^(x/(x+2))
solution(h,6, -1,2)
# 1
solution(h,6, -5,-3)
# -3.26186 per avere più cifre:
more(solution(h,6, -5,-3))
# -3.26185950714291