Risolvi rispetto a x (eventualmente in modo approssimato) l'equazione
√(x+11) – √(x+5) + √(x–3) – √(x–1) = 0
Si capisce subito che non è banale risolvere questa equazione. Se si dispone di un computer si può procedere graficamente. Con questo script (operando tenendo conto del dominio della funzione e ragionando su successivi esiti ottenuti cambiando la scala) si possono ottenere le immagini seguenti.
3.45 sembra essere l'unica soluzione della nostra equazione. Potremmo convincerci della cosa con ulteriori zoom. Verifichiamo la cosa con la nostra calcolatrice:
OK! Questa particolare equazione è comunque manipolabile simbolicamente; infatti può essere riscritta come:
√(x+11) + √(x–3) = √(x+5) + √(x–1)
che attaverso successivi elevamenti al quadrato può in qualche modo semplificarsi in quanto si tratta di somme di coppie di termini inizianti tutti con √(x+…):
x+11 + x–3 + 2√(x+11)√(x–3) = x+5 + x–1 +2√(x+5)√(x–1)
4 + √(x+11)√(x–3) = 2 + √(x+5)√(x–1)
2 = √(x+5)√(x–1) – √(x+11)√(x–3)
4 = (x+5)(x–1) + (x+11)(x–3) – 2√(x+5)√(x–1)√(x+11)√(x–3)
√(x+5)√(x–1)√(x+11)√(x–3) = x2 + 6x – 21
x4 + 12x3 – 6x2 – 172x + 165 = x4 + 36x2 + 441 + 12x3 – 42x2 – 252x
– 172x + 165 = – 252x + 441
80x = 276
x = 276/80 = 69/20 = 3.45
Posso controllare ulteriormente la soluzione con WolframAlpha introducendo:
solve sqrt(Q+11) - sqrt(Q+5) + sqrt(Q-3) - sqrt(Q-1) = 0 for Q