Voglio inserire in un tubo con sezione circolare di raggio R una striscia di lamiera larga P ripiegata in modo da formare un tubo con sezione rettangolare che si incastri perfettamente nel tubo circolare. Come devo ripiegare la lamiera?

Astraendo dal contesto, il problema, matematizzato, diventa quello della costruzione di un rettangolo di perimetro P che abbia i vertici su un cerchio di raggio R. Dispongo il cerchio e il rettangolo da individuare nel modo illustrato a lato. Posso farlo in quanto la diagonale del rettangolo deve essere un diametro, in quanto essa divide il rettangolo in due triangoli rettangoli inscritti nel cerchio. Se A e B sono le dimensioni (incognite) del rettangolo, tenendo conto che il diametro è 2R, abbiamo: 2A+2B = P  AND  A2+B2 = 4R2 A = P/2-B  AND  (P/2-B)2+B2 = 4R2 A = P/2-B  AND  2B2-PB+P2/4-4R2=0
A = P/2-B   AND   (B = P/4 + √(32R2-P2)/4)  OR  B = P/4 – √(32R2-P2)/4 ( A = P/4–√(32R2-P2) /4) AND B = P/4+√(32R2-P2) /4 )   OR ( A = P/4+√(32R2-P2) /4) AND B = P/4–√(32R2-P2) /4 ) Se non teniamo conto dell'ordine con cui effettuare le pieghe (prima il lato più lungo o prima quello più corto), la soluzione è una sola, come è intuivamente comprensibile (anche se non ovvio). Affinchè questa soluzione esista occorre che il termine sotto radice non sia negativo, ovvero che: P2 ≤ 32R2   ossia   P2/8 ≤ 4R2   ossia   P/4√2 ≤ 2R (il caso limite è quello del rettangolo con perimetro massimo, che è un quadrato: diametro = diagonale del quadrato = lato·√2) Affinché il problema abbia soluzione occorre anche che il perimetro arrivi a formare almeno due diametri: è l'altra condizione limite; in formula: P ≥ 4R, ossia P ≥ 8R. Essa corrisponde, come si può verificare sostituendo, alle soluzioni A=0, B=P/2, ovvero A=P/2, B=0. Se non valesse questa diseguaglianza otterremmo che A o B è negativa, il che non è sensato trattandosi di lunghezze.
In definitiva la condizione di risolubiltà è:   4R ≤ P ≤ 4R√2