Se xn+a1xn-1+...+an-1x + an = 0
è un’equazione a coefficienti reali, allora a1 è:
A) l’opposto della somma delle radici
B) la somma delle radici
C) il prodotto delle radici
D) l’opposto del prodotto delle radici
L'esercizio è è a risposta chiusa e utilizzando ciò
è facilissimo da affrontare, con qualche esempio:
se considero x+1=0 a1=0 e l'unica radice è −1, quindi sono
accettabili solo A) e D);
se considero x^2−1=0 a1=0 e le radici sono 1 e −1, quindi sono
accettabili solo A) e B);
conludendo l'unica risposta complessivamente accettabile è A.
(osserviamo che - anche se il testo da questo punto di vista è ambiguo -
la cosa funziona pure nel caso in cui le radici siano dei "numeri complessi"; ad es.
se x^2+1=0 a1=0 e le radici sono i e −i che
hanno 0 come somma)
La cosa può essere dimostrata, facilmente se viene l'idea:
il polinomio può essere scomposto in:
(x−x1)(x−x2)
(x−xn),
dove xi sono le radici reali o complesse, eventualmente ripetute;
sviluppando il prodotto il coefficiente di xn-1 è