In una cisterna è contenuto del gasolio. La cisterna ha la forma di un cilindro (circolare retto) ed è collocata nel modo illustrato a lato, su una superficie orizzontale. Per misurare il liquido contenuto si immerge un'asta, nel modo raffigurato. Se la cisterna è lunga 5.35 metri e ha raggio interno di 1.24 metri, se il livello del gasolio è di 0.97 metri, quanto è il volume del gasolio?
L'area di un segmento circolare di raggio R e ampiezza angolare α è pari all'area del corrispondente settore circolare [π·R²·α/(2·π) = R²·α/2] meno quella del triangolo con un vertice nel centro e avente come lato il segmento che delimita il segmento circolare [R·sin(α/2)·R·cos(α/2), ovvero (R-x)·√(R²-(R-x)²) = (R-x)·√(2Rx-x²)]. Io conosco x (vedi figura); come posso determinare α?

(R-x)/R = cos(α/2), da cui α/2 = arccos((R-x)/R). Dunque, indicata con L la lunghezza del cilindro, il volume del gasolio è:
L·(R²·α/2 − (R-x)·√(2Rx-x²)) = L·(R²·arccos((R-x)/R) − (R-x)·√(2Rx-x²))
Facciamo i calcoli (con R):
L <- 5.35; R <- 1.24; x <- 0.95
L*(R^2*acos((R-x)/R)-(R-x)*sqrt(2*R*x-x^2))
# 9.109271
Arrotondo a 9.11 m³.

Controlliamo la formula trovata nel caso in cui non vi sia gasolio e nel caso sia a metà livello (per cui dovremmo ottenere πR²·L/2):
pi*R^2*L/2
# 12.92162
x <- R; L*(R^2*acos((R-x)/R)-(R-x)*sqrt(2*R*x-x^2))
# 12.92162
x <- 0; L*(R^2*acos((R-x)/R)-(R-x)*sqrt(2*R*x-x^2))
# 0
OK.
È facile verificare, attraverso qualche manipolazione, che la formula vale anche quando x > R. Limitiamoci a verificarlo con R:
x <- R*2; L*(R^2*acos((R-x)/R)-(R-x)*sqrt(2*R*x-x^2))
# 25.84324, il doppio di 12.92162