Siamo in Italia, dove l'accelerazione di gravità varia tra 9.80 e 9.81 m/s². Un cilindro di ottone è alto 20.0 cm, ha una sezione di diametro 12.0 cm e ha una massa di 20.0 kg. È incollato alla faccia inferiore di una lastra fissa. La colla resiste al massimo ad una tensione di 2.0 N/cm². Il cilindro rimane incollato o c'è il rischio che si stacchi? Perché? E se il cilindro fosse dello stesso materiale ma 10 volte più grande? Perché? | |
L'altezza del cilindro, evidentemente, non entra in gioco.
Facciamo prima i conti come se le misure fossero esatte.
A = pi*0.06^2 # area sezione in m^2
T = 2*10^4 # tensione a cui resiste la colla N/m^2
P = 20*9.8; P # peso cilindro in N
# 196
F = T*A; F # peso che può reggere la colla
# 226.1947
## Sembra che riesca a reggere il peso. Ma facciamo i calcoli
## corretti, tenendo conto delle approssimazioni:
A1 = pi*(0.1195/2)^2; A2 = pi*(0.1205/2)^2
T1 = 1.95*10^4; T2 = 2.05*10^4
P1 = 19.95*9.8; P2 = 20.05*9.81; P1; P2
# 195.51 196.6905
F1 = A1*T1; F2 = A2*T2; F1; F2
# 218.7058 233.7856
## Il peso in newton sta in [195.5, 197], mentre quello che
## può essere sostenuto sta in [218, 234]: OK.
Ultime due domande.
Il peso sarebbe 10³ = 1000 volte quello del caso precedente.
Il peso che può reggere la colla è proporzionale alla superficie di attacco,
quindi crescerebbe come l'area, ossia sarebbe 10² = 100 volte quello del caso precedente.
Evidentemente, quindi, il cilindro non dovrebbe rimanere attaccato.
Vedi: vettori neGli Oggetti Matematici
Un modo veloce e sicuro per fare i calcoli e ricorrere a dei programmi che, dati intervalli di indeterminazione per gli input, forniscono intervalli di indeterminazione per gli output. Ne vediamo due, uno online, l'altro basato sull'impiego di R (vedi), che dà soluzioni approssimate.
Il primo si basa sullo script online presente qui. Si ottiene facilmente:
# Con R: source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") F = function(T,d) T*pi*(d/2)^2; P = function(m,g) m*g g = 9.805+EPS(0.005); d = 12+EPS(0.05); m = 20+EPS(0.05); T = 2+EPS(0.05) min( F(T,d) ); max( F(T,d) ) # 218.7063 233.7829 min( P(m,g) ); max( P(m,g) ) # 195.5103 196.6904
Con WolframAlfha (vedi):
minmax T*PI*(d/2)^2 where abs(T-2)<0.05 and abs(d-12)<0.05
min ≈ 218.706 at (d, T) ≈ (11.95, 1.95)
max ≈ 233.786 at (d, T) ≈ (12.05, 2.05)
minmax M*G where abs(M-20)<0.05 and abs(G-9.805)<0.005
min ≈ 195.51 at (G, M) ≈ (9.8, 19.95)
max ≈ 196.691 at (G, M) ≈ (9.81, 20.05)