1.2,1.5,1.8,2.2,2.5,2.8,3.1, 3.4, 3.7, 4.1, 4.4, 4.7, 5.0,
5.3, 5.6, 6.0, 6.3, 6.6, 6.9,7.2,7.6,7.9,8.2,8.5,8.8,9.1
0.8,2.6,4.2,6.0,7.3,8.4,9.4,10.3,11.0,11.8,12.2,12.5,12.7,
12.7,12.6,12.3,11.9,11.4,10.7,9.9,8.7,7.6,6.4,5.0,3.5,1.9
| Ho la fotografia multiflash di una palla lanciata in aria. Gli intervalli di tempo tra due immagini successive sono uguali. Non ho informazioni sui valori effettivi delle distanze spaziali e temporali, per cui con una riga graduata rilevo le distanze, in centimetri, delle posizioni del centro della palla dal margine sinistro e dal margine basso della foto. Ecco, in ordine, le "ascisse" e le "ordinate" dei punti così determinate: | |
1.2,1.5,1.8,2.2,2.5,2.8,3.1, 3.4, 3.7, 4.1, 4.4, 4.7, 5.0,
5.3, 5.6, 6.0, 6.3, 6.6, 6.9,7.2,7.6,7.9,8.2,8.5,8.8,9.1
0.8,2.6,4.2,6.0,7.3,8.4,9.4,10.3,11.0,11.8,12.2,12.5,12.7,
12.7,12.6,12.3,11.9,11.4,10.7,9.9,8.7,7.6,6.4,5.0,3.5,1.9
|
Possiamo ritenere le misure approssimate a meno di 1 mm. Come si può trovare, utilizzando il computer per elaborare i dati, quale tipo di curva ha descritto la palla?
•• Usiamo R, ma poi usiamo altro software. Carichiamo (con "source") una libreria per fare tutto pił facilmente (vedi). Procediamo lungo due possibili strade.
• Rappresentiamo i punti. Potrei usare una scala monometrica
(col comando PLANE), ma, capito il fenomeno, posso farne a meno.
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
x = c(1.2,1.5,1.8,2.2,2.5,2.8,3.1, 3.4, 3.7, 4.1, 4.4, 4.7,
5.0, 5.3, 5.6, 6.0, 6.3, 6.6, 6.9,7.2,7.6,7.9,8.2,8.5,8.8,9.1)
y = c(0.8,2.6,4.1,6.0,7.3,8.4,9.4,10.3,11.0,11.8,12.2,12.5,
12.7,12.7,12.6,12.3,11.9,11.4,10.7,9.9,8.7,7.6,6.4,5.0,3.5,1.9)
c( min(x),max(x), min(y),max(y)); n <- length(x); n
# 1.2 9.1 0.8 12.7
# 26 sono 26 dati
BF=3.5;HF=3
Plane(1,9.5, 0,13); POINT(x,y,"brown")
Otteniamo punti disposti, circa, lungo una curva che assomiglia ad una parabola,
ma che potrebbe essere di moltissimi altri tipi (supponiamo di non sapere che l'andamento
della palla è effettivamente parabolico; scopo dell'esercizio è come
usare strumenti matematici per scoprire l'andamento dei punti). Il modo più
semplice per studiare l'andamento è quello di studiare come evolve la
pendenza della curva: se la pendenza variasse linearmente saremmo di fronte a
dati ad andamento parabolico. Rappresentiamo le pendenze col computer:
# trovo le x medie dei punti e traccio le relative pendenze
xx = 0; for(i in 1:(n-1)) xx[i] <- (x[i+1]+x[i])/2
dy = 0; for(i in 1:(n-1)) dy[i] <- (y[i+1]-y[i])/(x[i+1]-x[i])
c( min(xx), max(xx), min(dy), max(dy))
# 1.350000 8.950000 -5.333333 6.000000
Plane(1,9.5, -6,6); POINT(xx,dy,"brown")
I "punti" sembrano allinearsi lungo un retta. Volendo, posso cercare tale retta; la retta che
"meglio" approssima i dati la posso trovare col seguente comando:
regression1(xx,dy)
# -1.46 * x + 7.655
f = function(x) -1.46 * x + 7.655
graph1( f, 0,10, "blue")
• In alternativa posso trovare direttamente la parabola che "meglio" approssima
i punti e vedere se è una buona approssimazione (la tecnica di approssimazione usata poco
fa si chiama "regressione lineare", questa "regressione quadratica"):
Plane(1,9.5, 0,13); POINT(x,y,"brown")
regression2(x,y)
# -0.727 * x^2 + 7.62 * x + -7.24
g = function(x) -0.727 * x^2 + 7.62 * x + -7.24
graph1( g, 0,10, "blue")
# OK
1ª alternativa
Posso usare il software online WolframAlpha (vedi):
quadratic fit (1.2,0.8),(1.8,4.2),(2.5,7.3),(3.1,9.4),(3.7,11),(4.4,12.2),(5,12.7),(5.6,12.6),(6.3,11.9),(6.9,10.7),(7.6,8.7),(8.2,6.4),(8.8,3.5),(9.1,1.9)
-0.726474 x^2 + 7.61338 x - 7.22066 -0.73*x²+7.6*x - 7.2
2ª alternativa
Posso anche impiegare uno script online:
e poi usare questo script per tracciare il grafico.