Un sasso cade da fermo dall'ultimo piano di un alto palazzo. Sappiamo che in t secondi percorre 4.9·t² metri (4.9 valore arrotondato).  (1) Qual è la velocità media con cui cade nei primi 2 secondi?  (2) Qual è la velocità media con cui cade tra t=1 e t=2?  (3) Qual è la velocità che ha negli istanti t=1 e t=2? e in un generico istante t?

Indichiamo con y(t) la distanza in metri percorsa dal sasso in t secondi. La velcità media (in m/s) di caduta tra l'istante a e l'istante b è
v_ab = Δy/Δt = (4.9·b²−4.9·a²)/(b-a). Quindi:
(1) Δy/Δt = (4.9·2²−4.9·0²)/(2-0) = 4.9·2 = 9.8; per esprimere la velocità media dobbiamo utilizzare le unità di misura, che sono m/s (siccome 4.9 era con la precisione di 0.05, questo valore ha la precisone 0.05·2 = 0.1);
(2) Δy/Δt = (4.9·2²−4.9·1²)/(2-1) = 4.9·3 = 14.7; anche in questo caso l'unità di misura è m/s (la precisione è 0.15).
(3) La velocità media nell'intervallo [1, 1+h] è Δy/Δt = (4.9·(1+h)²−4.9·1²)/h = 4.9(2·h+h²)/h = 2·4.9+4.9·h.  Quando h tende a 0 questa velocità media tende al valore 2·4.9 = 9.8. Questo è il valore istantaneo della velocità dopo 1 secondo, espresso in m/s (valore arrotondato).
Analogamente la velocità media nell'intervallo [2, 2+h] è Δy/Δt = (4.9·(2+h)²−4.9·2²)/h = 4·4.9+4.9·h.  Quando h tende a 0 questa velocità media tende al valore 4·4.9 = 19.6. Questo è il valore istantaneo della velocità dopo 2 secondo, espresso in m/s (valore arrotondato).
Analogamente nell'istante t la velocità è il limite per h che tende a 0 di  (4.9·(t+h)²−4.9·t²)/h = 4.9(t²+2th+h²−t²)/h = 4.9(2t+h), ossia  9.8t (m/s).
Se conosciamo il concetto della derivazione possiamo risolvere l'ultimo quesito così:
D_t(4.9·t²) = 4.9·D_t(t²) = 4.9·2·t = 9.8t.

Per altri commenti: derivata e differenziale neGli Oggetti Matematici.