Vedi più avanti come procedere col software online WolframAlpha con un numero minore di misure.
(1) I rettangolini sono alti "4 °C". Quindi il primo rettangolino, che verticalmente va da 123° a 127°, rappresenta la temperatura 125±:2°; il secondo 112±:2°; Ecco come potrebbero essere tracciati i "punti" (con R, vedi), ottenendo la figura sotto riportata:
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R") tempo = seq(0,1230,30) tempera = c(125,112,100,90,78,68,59,51,46,40,35,31,29,25,22,21,18, 16,14,12,11,10,10,9,8,7,6,6,5,4,4,3,2,1,1,1,1,1,1,1,0,0) length(tempera) # 42 I punti sono 42 etempo=rep(2,100); etempera=rep(2,100) BF=8; HF=4 Plane(0,1250, 0,130) colRect="black"; pointDiff0(tempo,tempera,etempo,etempera) abovex("s"); abovey("°C") type(50,125,"°C"); type(1250,6,"s")
(2)
Possiamo, ad es., vedere se si mantiene costante il tempo di dimezzamento. Su vari esempi, vedi figura sotto a sinistra,
si vede che questo è sempre di circa
In alternativa possiamo osservare che il fatto che la velocità di variazione della temperatura abbia una relazione
di tipo lineare con la temperatura ci fa concludere che la temperatura ha un andamento di tipo esponenziale rispetto al
tempo. Possiamo precisare questa cosa analizzando i logaritmi delle temperature. Facciamolo usando il computer:
lo=log(tempera) min(lo[1:40]); max(lo[1:40]) # 0 4.828314 min(lo[1:41]); max(lo[1:41]) # -Inf 4.828314 Plane(0,1250, 0,5); Point(tempo,lo,"red") # Ho ottenuto i pallini rossi, che approssimo poi col grafico di una funzione POINT(tempo[1],lo[1],"brown"); POINT(tempo[21],lo[21],"brown") r=(lo[21]-lo[1])/(tempo[21]-tempo[1]); r # -0.004111241 la pendenza della retta che approssima i pallini: # y = 4.828314 - 0.004111241*x log(125) = 4.828314 f = function(x) lo[1]+r*x; graph1(f,0,1200,"blue") # # Ho un risultato simile trovando la retta di regressione (escludo gli ultimi punti) regression(tempo[1:33],lo[1:33], 0,lo[1]) # -0.003965 * x + 4.828314 # prendo y = 4.83 - 0.0040 * x
Abbiamo visto che i punti, fino ad un certo punto, sono disposti più o meno lungo una retta (sui valori bassi la precisione relativa peggiora e non consente di avere informazioni attendibili). Abbiamo calcolato, approssimativamente, la pendenza di queste retta (r). Sopra abbiamo tracciato la retta che passa per il punto inziale e ha tale pendenza.
(3) Ritorno al grafico iniziale operando con la funzione inversa di log:
f = function(x) 4.83 - 0.0040 * x h = function(x) exp(f(x)) BF=8; HF=4 Plane(0,1250, 0,130) colRect="black"; pointDiff0(tempo,tempera,etempo,etempera) abovex("s"); abovey("°C") graph2(h,0,1250, "blue")
La funzione x → exp(4.83−0.0040*x) posso esprimerla come
x → 125·exp(−0.004·x), in quanto 4.828314 non era altro che
(4) Tale funzione ha grafico (quello blu sopra raffigurato) che non arriva a toccare
l'asse x, mentre la temperatura dell'oggetto prima o poi si stabilizza sul valore
della tempeartura ambiente. Questa differenza non deve stupire: la funzione è un modello matematico
che approssima il fenomeno reale, ma non coincide con esso. In particolare la temperatura di un corpo o di
un ambiente a rigore non è rappresentabile esattamente con un numero reale: essa, infatti, corrisponde alla
energia cinetica media della particelle, che fluttua, pur se con piccole oscillazioni, attorno
ad un certo valore: l'oggetto raggiunge la temperatura ambientale quando le fluttuazioni
della sua temperatura si interecano con quelle della temperatura dell'ambiente.
Per altro, questo modello rappresenta il fenomeno nell'ipotesi che anche nelle vicinanze
dell'oggetto la temperatura sia quella ambientale mentre in realtà, se l'ambiente non è
un po' ventilato, attorno al corpo si registra una temperatura leggermente maggiore, per cui, specie quando
temperatura dell'oggetto e dell'ambiente sono molto vicine, il salto della temperatura effettivo
ha una discerta differenza percentuale dal salto riferito alla temperatura ambientale "ufficiale"]
Suppongo di aver letto la temperatura del termometro ogni 60 s e di aver ottenuto le seguenti coppie (secondi,°C):
(0,125);(60,100);(120,78);(180,59);(240,46);(300,35);(360,29);(420,22);(480,18);(540,14);(600,11);(660,10);(720,8);(780,6);(840,5);(900,4);(960,2);(1020,1);(1080,1);(1140,1).
Rappresento graficamente questi dati utilizzando il software online www.wolframalpha.com (vedi qui).
plot {(0,125);(60,100);(120,78);(180,59);(240,46);(300,35);(360,29);(420,22);(480,18);(540,14);(600,11);(660,10);(720,8);(780,6);(840,5);(900,4);(960,2);(1020,1);(1080,1);(1140,1)}
Ottengo il grafico sotto a sinistra. Sembra aver andamento esponenziale. Verifco la cosa (ottengo il grafico sopra a destra):
exp fit {(0,125);(60,100);(120,78);(180,59);(240,46);(300,35);(360,29);(420,22);(480,18);(540,14);(600,11);(660,10);(720,8);(780,6);(840,5);(900,4);(960,2);(1020,1);(1080,1);(1140,1)}
Il software mi dà anche l'equazione della funzione esponenziale: 125.764*e^(-0.00409652*x)
Poi vai al paragrafo (4).