In un manuale scolastico si trova, sull'analisi degli errori in fisica, che se
Q = F(x1,
,xN) è il valore di una grandezza dipendente dalle N
grandezze x1,
, xN, e se le precisioni Δx1,
, ΔxN di queste
sono tra loro indipendenti, allora la precisione di Q è
Osserviamo che nel caso in cui Q dipenda da una sola grandezza la formula si riduce alla espressione
del valore assoluto del differenziale di F
Si fa l'esempio: Q = A·B/C, A = 10±2, B = 30±2, C = 20±1;
Q = 10·30/20 = 15,
ΔQ = √( (30/20·2)² +
(10/20·2)² +
(−10·30/20²·1)² )
= 3.25, per cui si avrebbe
Discuti quanto presentato da questo libro.
Facciamo due conti:
# I "calcoli" del libro sono giusti:
sqrt((30/20*2)^2+(10/20*2)^2+(-10*30/20^2*1)^2)
## 3.25
# Vediamo se è corretto il loro uso. Approssimazione per difetto:
(10-2)*(30-2)/(20+1)
## 10.66667
# Per eccesso:
(10+2)*(30+2)/(20-1)
## 20.21053
# I calcoli, pi semplici, usando una libreria (vedi qui, in particolare
qui):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
A = c(10-2, 10+2); B = c(30-2, 30+2); C = c(20-1,20+1)
AB = approx(A,B,"*"); approx(AB,C,"/")
## min [2] max
## 10.66667 20.21053
# Concludo che A*B/C tra 10.7 e 20.3, ossia 15.5±4.8
# Alternativa:
A = 10+EPS(2); B=30+EPS(2); C=20+EPS(1); range(A*B/C)
## 10.68369 20.20202
# O ancora più semplicemente usando questo script:
O col software online www.wolframalpha.com. Vedi qui.
minmax x*y/z if( 10-2<x<10+2 and 30-2<y<30+2 and 20-1<z<20+1 )
min ≈ 10.6667 at (x, y, z) = (8, 28, 21)
max ≈ 20.2105 at (x, y, z) = (12, 32, 19)
L'intervallo di indeterminazione ottenuto dal libro, 15±3.25 = [11.75,18.25],
è errato: è molto più piccolo (e "scentrato") rispetto a 15.5±4.8 = [10.7,20.3].
La formula che propone il libro può essere usata solo per "approssimare" la deviazione
standard di Q a partire da quelle di x1,
, xN, e sotto opportune ipotesi, che qui non discutiamo.
Essa appare certamente come una cosa "magica" al lettore, quando deve affrontare un esercizio che potrebbe
risolvere più correttamente e in modo comprensibile in altro modo!
Per altri commenti: calcolo approssimato neGli Oggetti Matematici.