In un manuale scolastico si trova, sull'analisi degli errori in fisica, che se  Q = F(x1,…,xN)  è il valore di una grandezza dipendente dalle N grandezze  x1,…, xN,  e se le precisioni  Δx1,…, ΔxN  di queste sono tra loro indipendenti, allora la precisione di Q è  √( (Dx1 F(x1,…,xN)·Δx1)² + … + (DxN F(x1,…,xN)·ΔxN)² )  [DkF indica la derivazione di F rispetto alla variabile k].
    Osserviamo che nel caso in cui Q dipenda da una sola grandezza la formula si riduce alla espressione del valore assoluto del differenziale di F ( derivata), ossia di  dF(x) = Dx(F(x))·Δx.
    Si fa l'esempio:  Q = A·B/C,  A = 10±2,  B = 30±2,  C = 20±1;   Q = 10·30/20 = 15,
ΔQ = √( (30/20·2)² + (10/20·2)² + (−10·30/20²·1)² ) = 3.25,  per cui si avrebbe  Q = 15 ± 3.25.
    Discuti quanto presentato da questo libro.

    Facciamo due conti:
# I "calcoli" del libro sono giusti:
sqrt((30/20*2)^2+(10/20*2)^2+(-10*30/20^2*1)^2)
## 3.25
# Vediamo se è corretto il loro uso. Approssimazione per difetto:
(10-2)*(30-2)/(20+1)
## 10.66667
# Per eccesso:
(10+2)*(30+2)/(20-1)
## 20.21053
# I calcoli, pių semplici, usando una libreria (vedi qui, in particolare qui):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
A = c(10-2, 10+2); B = c(30-2, 30+2); C = c(20-1,20+1)
AB = approx(A,B,"*"); approx(AB,C,"/")
## min      [2] max
## 10.66667 20.21053
# Concludo che A*B/C č tra 10.7 e 20.3, ossia 15.5±4.8
# Alternativa:
A = 10+EPS(2); B=30+EPS(2); C=20+EPS(1); range(A*B/C)
## 10.68369 20.20202
# O ancora più semplicemente usando questo script:

O col software online www.wolframalpha.com. Vedi qui.
minmax x*y/z where 10-2<x<10+2 and 30-2<y<30+2 and 20-1<z<20+1
      min ≈ 10.6667 at (x, y, z) = (8, 28, 21)
      max ≈ 20.2105 at (x, y, z) = (12, 32, 19)

    L'intervallo di indeterminazione ottenuto dal libro,  15±3.25 = [11.75,18.25], è errato:  è molto più piccolo (e "scentrato") rispetto a  15.5±4.8 = [10.7,20.3].
    La formula che propone il libro può essere usata solo per "approssimare" la deviazione standard di Q a partire da quelle di x1,…, xN, e sotto opportune ipotesi, che qui non discutiamo. Essa appare certamente come una cosa "magica" al lettore, quando deve affrontare un esercizio che potrebbe risolvere più correttamente e in modo comprensibile in altro modo!

Per altri commenti: calcolo approssimato neGli Oggetti Matematici.